Opracowanie edukacyjne
Graniastosłupy – quiz z matematyki dla klasy 8
Graniastosłup ma dwie przystające podstawy leżące w równoległych płaszczyznach, a jego ściany boczne są równoległobokami. W graniastosłupie prostym krawędzie boczne są prostopadłe do podstaw, więc ściany boczne są prostokątami. Nazwa zależy od wielokąta w podstawie. Obliczenia pola i objętości wymagają najpierw rozpoznania tej figury, jej wysokości oraz jednostek; wzór użyty bez poprawnego modelu nie daje wiarygodnego wyniku. Rysunek pomocniczy i siatka pozwalają zobaczyć niewidoczne krawędzie, uniknąć pominięcia ściany oraz odróżnić długość, powierzchnię i przestrzeń zajmowaną przez bryłę.
Po tej lekcji potrafisz
- rozumieć pojęcia i zapis
- wykonywać obliczenia krok po kroku
- sprawdzać wynik inną metodą
- stosować wiedzę w zadaniach
Elementy i klasyfikacja
Graniastosłup n-kątny ma 2n wierzchołków, 3n krawędzi i n+2 ściany. Dla trójkątnego są to odpowiednio 6, 9 i 5. Dwie podstawy są przystające, a odpowiadające im wierzchołki łączą krawędzie boczne.
Graniastosłup prawidłowy jest prosty i ma w podstawie wielokąt foremny. Sześcian jest szczególnym graniastosłupem prawidłowym czworokątnym, a prostopadłościan graniastosłupem prostym. Nie każdy graniastosłup prosty jest prawidłowy.
Siatka i pole
Siatka powstaje po rozcięciu krawędzi i rozłożeniu ścian na płaszczyźnie. Zawiera dwie podstawy oraz pas ścian bocznych. Pole całkowite wynosi Pc=2Pp+Pb, gdzie Pp to pole jednej podstawy, a Pb suma pól ścian bocznych.
W graniastosłupie prostym pole boczne można obliczyć jako obwód podstawy razy wysokość bryły. Trzeba używać długości w tej samej jednostce. Pole podajemy w jednostkach kwadratowych, ponieważ sumujemy powierzchnie.
Objętość
Objętość każdego graniastosłupa jest równa polu podstawy razy wysokość: V=Pp·H. Wysokość jest prostopadłą odległością między płaszczyznami podstaw; w graniastosłupie prostym równa się długości krawędzi bocznej.
Jeśli podstawa jest trójkątem, najpierw liczymy jego pole, a nie sam obwód. Jednostka objętości jest sześcienna. Jeden decymetr sześcienny odpowiada jednemu litrowi, ale zamiana jednostek sześciennych wymaga podniesienia przelicznika długości do trzeciej potęgi.
Przekątne i zadania
Przekątna ściany prostopadłościanu wynika z twierdzenia Pitagorasa dla prostokąta. Przekątna bryły tworzy trójkąt prostokątny z przekątną podstawy i wysokością, więc jej kwadrat wynosi a²+b²+c².
W zadaniu praktycznym rysujemy bryłę, oznaczamy dane i ustalamy, czy chodzi o pojemność, materiał na powierzchnię czy długość. Pojemność dotyczy objętości, oklejenie pola, a stelaż sumy odpowiednich krawędzi. Wynik sprawdzamy jednostką i oszacowaniem.
Chronologia
| Data | Wydarzenie |
|---|---|
| 1 | rozpoznaj podstawę i wysokość |
| 2 | oblicz pole podstawy |
| 3 | wybierz pole lub objętość |
| 4 | zapisz poprawną jednostkę |
Najważniejsze pojęcia
- podstawa
- jedna z dwóch przystających równoległych ścian
- wysokość
- prostopadła odległość między podstawami
- siatka
- płaski układ wszystkich ścian bryły
- objętość
- miara przestrzeni zajmowanej przez bryłę
Najczęstsze pomyłki
- Wysokość nie zawsze jest dowolną krawędzią boczną.
- Pole ma jednostki kwadratowe, objętość sześcienne.
- Wzór na pole zawiera dwie podstawy.
Podsumowanie do zapamiętania
- Nazwa bryły wynika z podstawy.
- Siatka zawiera wszystkie ściany.
- Pc=2Pp+Pb.
- V=Pp·H.