Opracowanie edukacyjne
Równania liniowe i wyrażenia algebraiczne – quiz
Wyrażenie algebraiczne opisuje liczby i działania za pomocą liter. Litera może oznaczać dowolną wartość z ustalonego zakresu albo konkretną niewiadomą. Równanie stwierdza, że dwa wyrażenia mają tę samą wartość, a jego rozwiązaniem jest liczba spełniająca tę równość. Przekształcenia muszą zachowywać zbiór rozwiązań: wykonujemy to samo działanie po obu stronach, podobnie jak przy utrzymywaniu równowagi szalek.
Po tej lekcji potrafisz
- rozumieć pojęcia i zapis
- wykonywać obliczenia krok po kroku
- sprawdzać wynik inną metodą
- stosować wiedzę w zadaniach
Wyrażenia
W wyrażeniu 3x+5 liczba 3 jest współczynnikiem, x zmienną, a 5 wyrazem stałym. Dla x=4 wartość wynosi 17. Zapis 3x oznacza mnożenie, lecz x+3 to suma, której nie można zastąpić przez 3x.
Wyrazy podobne mają tę samą część literową: 4x-2x=2x, ale 4x+2 nie redukuje się do 6x. Nawias mnożymy przez każdy składnik: 3(x-2)=3x-6. Kontrola przez podstawienie prostej liczby pomaga wykryć błąd znaku.
Równania równoważne
Dodanie tej samej liczby do obu stron i pomnożenie obu stron przez liczbę różną od zera daje równanie równoważne. Z 3x+5=20 odejmujemy 5, otrzymując 3x=15, następnie dzielimy przez 3 i dostajemy x=5.
Popularne przenoszenie na drugą stronę ze zmianą znaku jest skrótem opisu wykonania działania odwrotnego po obu stronach. Bez rozumienia skrót prowadzi do przypadkowej zmiany znaków. Każdy etap można zapisać jawnie i sprawdzić.
Nawiasy i niewiadoma po obu stronach
Najpierw usuwamy nawiasy, potem redukujemy wyrazy podobne. W równaniu 2(x+3)=x+10 otrzymujemy 2x+6=x+10, odejmujemy x oraz 6 i uzyskujemy x=4.
Jeśli redukcja daje zdanie zawsze prawdziwe, równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań; jeśli fałszywe, nie ma rozwiązań. Przykładowo 2(x+1)=2x+2 jest tożsamościowe, a 2(x+1)=2x+3 sprzeczne.
Zadania tekstowe
Niewiadomą definiujemy wraz z jednostką. Relacje z treści zapisujemy jako wyrażenia, budujemy równanie, rozwiązujemy i wracamy do pytania. Jeśli liczba jest o 7 większa od x, zapisujemy x+7; sformułowanie trzy razy większa w typowym zadaniu oznacza 3x.
Rozwiązanie algebraiczne trzeba sprawdzić w treści, nie tylko w równaniu. Wiek, długość albo liczba przedmiotów mogą wprowadzać ograniczenia. Odpowiedź ujemna może być poprawna dla temperatury, ale nie dla liczby osób.
Chronologia
| Data | Wydarzenie |
|---|---|
| 1 | usuń nawiasy |
| 2 | zredukuj wyrazy podobne |
| 3 | izoluj niewiadomą równoważnymi działaniami |
| 4 | podstaw i sprawdź |
Najważniejsze pojęcia
- zmienna
- litera reprezentująca liczbę
- niewiadoma
- wartość poszukiwana w równaniu
- równania równoważne
- równania o tym samym zbiorze rozwiązań
- wyrazy podobne
- składniki z identyczną częścią literową
Najczęstsze pomyłki
- Znaku nie zmienia się bez wykonania działania po obu stronach.
- Dodawać można tylko wyrazy podobne.
- Rozwiązanie musi pasować także do kontekstu.
Podsumowanie do zapamiętania
- Litery pozwalają zapisywać ogólne relacje.
- Obie strony równania traktujemy jednakowo.
- Nawias wymaga pomnożenia każdego składnika.
- Podstawienie weryfikuje rozwiązanie.