Opracowanie edukacyjne

Kolejność wykonywania działań – matematyka klasa 4

Kolejność wykonywania działań sprawia, że ten sam zapis ma jedno uzgodnione znaczenie. Nawiasy wskazują działania wykonywane najpierw, następnie oblicza się potęgi, potem mnożenie i dzielenie, a na końcu dodawanie i odejmowanie. Działania należące do tej samej grupy priorytetu wykonujemy od lewej do prawej. Reguła nie jest dowolną umową do zapamiętania w oderwaniu od sensu: pozwala jednoznacznie odczytywać wzory i obliczenia.

Opracowanie: redakcja Quizowania · Standardy redakcyjne · Zgłoś błąd

Po tej lekcji potrafisz

stosować priorytety działań
obliczać działania o równym priorytecie od lewej
używać nawiasów do zmiany kolejności
zapisywać obliczenie etapami

Hierarchia działań

Najpierw obliczamy wyrażenia w nawiasach, zaczynając od najbardziej wewnętrznych. Potęgi wykonujemy przed mnożeniem i dzieleniem. Mnożenie i dzielenie poprzedzają dodawanie i odejmowanie. Dzięki temu 3+4×5 oznacza 3+20, czyli 23.

Nawias może zmienić wynik: (3+4)×5 daje 35. Nie wolno usuwać nawiasu bez sprawdzenia, jak wpływa on na działania. W dłuższym zapisie warto podkreślić działanie wykonywane w danym kroku i przepisać bez zmian pozostałą część wyrażenia.

Równy priorytet

Mnożenie nie ma pierwszeństwa przed dzieleniem, podobnie dodawanie przed odejmowaniem. W każdej z tych par działania mają ten sam poziom. Wyrażenie 24:6×2 liczymy od lewej: 4×2=8, a nie 24:12.

Tak samo 18−6+4 daje kolejno 12+4=16. Zastąpienie tego przez 18−10 zmieniłoby sens zapisu. Kolejność od lewej ma znaczenie szczególnie dla odejmowania i dzielenia, ponieważ działania te nie są przemienne.

Wyrażenia i zadania

Wyrażenie liczbowe można potraktować jak instrukcję. Każdy krok zastępuje jedną jego część otrzymanym wynikiem. Równoważny zapis zachowuje wartość całego wyrażenia, dlatego nie należy przestawiać liczb bez uzasadnionej własności działania.

W zadaniu tekstowym nawiasy pokazują strukturę sytuacji. Jeśli cztery osoby kupują po trzy zeszyty i dwa długopisy, zapis 4×(3+2) opisuje pięć przedmiotów na osobę. Zapis 4×3+2 oznacza już inną sytuację. Najpierw modelujemy treść, potem liczymy.

Równy priorytet nie oznacza dowolnej kolejności

W wyrażeniu 48 : 6 × 2 dzielenie i mnożenie mają ten sam priorytet. Wykonujemy je od lewej strony: najpierw 48 : 6, potem mnożymy otrzymany iloraz przez dwa. Nie wolno samodzielnie dopisywać nawiasu wokół 6 × 2. Taki nawias zmieniłby znaczenie wyrażenia, a nie tylko sposób jego wygodnego zapisania.

Porównanie 48 : 6 × 2 = 16 i 48 : (6 × 2) = 4 pokazuje rolę nawiasów. Oba rachunki mogą być poprawne, lecz odpowiadają różnym zapisom. Gdy wynik różni się od oczekiwanego, trzeba sprawdzić kolejność odczytu symboli, a nie od razu uznawać kalkulator za błędny. Podobna zasada dotyczy dodawania i odejmowania wykonywanych od lewej.

Zastosuj wiedzę

Przykład krok po kroku

Oblicz 48 : 6 × 2 bez dopisywania nawiasów.

Odkryj rozwiązanie i sprawdź rozumowanie

Dzielenie i mnożenie mają ten sam priorytet.
Od lewej: 48 : 6 = 8.
Następnie: 8 × 2 = 16.
Z nawiasem 48 : (6 × 2) otrzymalibyśmy inne zadanie.

Wniosek: Wartość podanego wyrażenia to 16.

Źródło pojęć — przykład jest autorski

Autorski przykład dydaktyczny. Liczby i sytuacje modelowe nie są wynikami rzeczywistego badania.

Najważniejsze pojęcia

wyrażenie liczbowe: zapis liczb połączonych działaniami
priorytet: pierwszeństwo wykonania działania
nawias: znak grupujący część wyrażenia
potęga: skrócony zapis wielokrotnego mnożenia tej samej liczby

Najczęstsze pomyłki

Mnożenie i dzielenie mają równy priorytet.
Dodawanie i odejmowanie również liczymy od lewej.
Nawiasu nie można zignorować po przeczytaniu wyrażenia.

Podsumowanie do zapamiętania

Nawiasy mają najwyższy priorytet.
Potęgi poprzedzają podstawowe działania.
Równe priorytety rozstrzyga kolejność od lewej.
Etapowy zapis ułatwia wykrywanie błędów.