Opracowanie edukacyjne

Obwody i pola figur płaskich – matematyka klasa 5

Obwód i pole opisują dwie różne cechy figury. Obwód jest długością jej brzegu, dlatego wyraża się go w jednostkach długości. Pole mierzy wielkość powierzchni i wymaga jednostek kwadratowych. Wzory nie są oderwanymi regułami: pole prostokąta wynika z liczby kwadratów jednostkowych ułożonych w wierszach i kolumnach, a wzory dla trójkąta, równoległoboku i trapezu można uzasadnić przez cięcie oraz przekształcanie figur.

Opracowanie: redakcja Quizowania · Standardy redakcyjne · Zgłoś błąd

Po tej lekcji potrafisz

odróżniać obwód od pola
obliczać pola podstawowych figur
zamieniać jednostki kwadratowe
dzielić figury złożone

Obwód i pole prostokąta

Obwód wielokąta jest sumą długości wszystkich boków. Dla prostokąta o bokach a i b zapisujemy 2a+2b, a dla kwadratu 4a. Jeżeli w zadaniu występuje ogrodzenie, listwa albo rama, zwykle szukamy długości brzegu, choć trzeba uwzględnić bramy i przerwy.

Pole prostokąta wynosi a×b, a kwadratu a². Iloczyn dwóch długości prowadzi do jednostki kwadratowej: 5 cm×8 cm=40 cm². Figury o tym samym obwodzie mogą mieć różne pola, więc jednej wielkości nie wolno wyznaczać z drugiej bez dodatkowych danych.

Trójkąt, równoległobok i trapez

Pole równoległoboku to iloczyn podstawy i odpowiadającej jej wysokości. Wysokość musi być prostopadła do podstawy; ukośny bok nie zastępuje wysokości. Trójkąt o tej samej podstawie i wysokości zajmuje połowę pola równoległoboku, stąd P=a×h/2.

Trapez można połączyć z jego kopią w równoległobok o podstawie a+b. Dlatego jego pole wynosi (a+b)×h/2. Nawias jest konieczny: najpierw sumujemy podstawy. Każda długość użyta we wzorze powinna być wyrażona w tej samej jednostce.

Jednostki i figury złożone

Ponieważ 1 dm=10 cm, kwadrat o boku 1 dm ma 10×10=100 cm². Przy zamianie pól współczynnik długości trzeba podnieść do kwadratu. Analogicznie 1 m²=10 000 cm², a nie 100 cm².

Pole figury złożonej obliczamy, dzieląc ją na rozłączne prostokąty lub inne znane figury i dodając pola. Można też odjąć pole wycięcia od większej figury. Linie wewnętrznego podziału nie należą do obwodu zewnętrznego, jeśli zadanie pyta o brzeg całej figury.

Ogrodzenie i pokrycie powierzchni

Dla prostokątnej rabaty 8 m na 5 m długość ogrodzenia i ilość powierzchni do pokrycia ziemią opisują inne wielkości. Obwód to 2 × 8 + 2 × 5 = 26 m, a pole to 8 × 5 = 40 m². Tych wyników nie wolno porównywać jako większej i mniejszej wersji tej samej odpowiedzi, bo mają różne jednostki i zastosowania.

Przy pytaniu o siatkę otaczającą rabatę potrzebny jest obwód, natomiast przy zakupie materiału pokrywającego jej wnętrze potrzebne jest pole. Otwór wejściowy lub fragment wspólnego ogrodzenia zmieni ilość siatki, ale nie zmieni automatycznie pola rabaty. Uczeń powinien wskazać, co mierzy wybrany wzór, zanim podstawi długości boków i zapisze wynik.

Zastosuj wiedzę

Przykład krok po kroku

Rabata ma 8 m na 5 m. Podaj obwód i pole.

Odkryj rozwiązanie i sprawdź rozumowanie

Boki: 8 m i 5 m.
Obwód: 2 × (8 + 5) = 26 m.
Pole: 8 × 5 = 40 m².
Kontrola: jednostka długości różni się od jednostki pola.

Wniosek: Obwód 26 m; pole 40 m².

Źródło pojęć — przykład jest autorski

Autorski przykład dydaktyczny. Liczby i sytuacje modelowe nie są wynikami rzeczywistego badania.

Najważniejsze pojęcia

obwód: długość brzegu figury
pole: miara powierzchni figury
wysokość: odcinek prostopadły do wybranej podstawy
jednostka kwadratowa: pole kwadratu o boku jednej jednostki

Najczęstsze pomyłki

Obwodu nie zapisuje się w cm².
Ukośny bok równoległoboku nie zawsze jest wysokością.
Przy zamianie pól współczynnik jednostek trzeba podnieść do kwadratu.

Podsumowanie do zapamiętania

Obwód jest sumą boków.
Pole prostokąta wynosi a×b.
Pole trójkąta jest połową a×h.
Figury złożone można dzielić lub uzupełniać.