Opracowanie edukacyjne
Podzielność, liczby pierwsze, NWD i NWW – matematyka klasa 5
Podzielność opisuje, kiedy jedna liczba całkowita dzieli drugą bez reszty. Cechy podzielności pozwalają rozstrzygać to bez wykonywania pełnego dzielenia. Rozkład na czynniki pierwsze ujawnia budowę liczby i prowadzi do największego wspólnego dzielnika oraz najmniejszej wspólnej wielokrotności. Te pojęcia rozwiązują różne sytuacje: NWD pomaga tworzyć największe jednakowe grupy, a NWW wyznacza najwcześniejsze wspólne powtórzenie cykli.
Po tej lekcji potrafisz
- stosować cechy podzielności
- rozpoznawać liczby pierwsze
- rozkładać liczby na czynniki pierwsze
- obliczać i interpretować NWD oraz NWW
Dzielniki i cechy podzielności
Liczba a jest podzielna przez b, gdy istnieje liczba całkowita k taka, że a=b×k. Każda dodatnia liczba dzieli się przez 1 i samą siebie. Wielokrotności otrzymujemy przez mnożenie liczby przez kolejne liczby całkowite.
Podzielność przez 2 rozpoznajemy po ostatniej cyfrze, przez 5 po końcówce 0 lub 5, a przez 10 po zerze. Dla 3 i 9 badamy sumę cyfr. Dla 4 wystarczą dwie ostatnie cyfry, ponieważ setki i wyższe potęgi dziesięciu są podzielne przez 4.
Liczby pierwsze i rozkład
Liczba pierwsza ma dokładnie dwa dodatnie dzielniki: 1 i samą siebie. Liczba 1 nie jest pierwsza, bo ma tylko jeden dodatni dzielnik. Liczby złożone mają więcej niż dwa dzielniki i można je zapisać jako iloczyn mniejszych liczb naturalnych.
Rozkład na czynniki pierwsze wykonujemy przez kolejne dzielenie przez najmniejsze możliwe liczby pierwsze. Zapis 60=2²×3×5 jest pełny, natomiast 60=6×10 nie jest jeszcze rozkładem pierwszym. Kolejność czynników nie zmienia rozkładu.
NWD, NWW i zastosowania
NWD zawiera wspólne czynniki pierwsze w najmniejszych wspólnych wykładnikach. Dla 18=2×3² i 24=2³×3 otrzymujemy NWD=2×3=6. Stosujemy go, gdy dzielimy zasoby na możliwie największe równe części bez reszty.
NWW zawiera wszystkie czynniki w największych wykładnikach: dla 6 i 8 wynosi 24. Jest użyteczna, gdy cykle mają spotkać się ponownie. Dla dodatnich a i b zachodzi NWD(a,b)×NWW(a,b)=a×b, co może służyć jako kontrola.
Wspólne wielokrotności w zadaniu o czasie
Dwa światła zaczynają migać jednocześnie; pierwsze powtarza sygnał co cztery sekundy, drugie co sześć. Szukamy pierwszego dodatniego czasu należącego do obu ciągów, a więc najmniejszej wspólnej wielokrotności. Nie dodajemy okresów i nie wybieramy ich największego wspólnego dzielnika. To rodzaj pytania decyduje o tym, czy potrzebne jest NWW, czy NWD.
Kolejne czasy pierwszego światła to 4, 8, 12 sekund, a drugiego 6, 12 sekund. Pierwsze wspólne mignięcie po starcie nastąpi po dwunastu sekundach. Warunek wspólnego początku jest ważny: gdy światła wystartują w innych chwilach, sama znajomość ich okresów nie wystarczy do tej odpowiedzi. Wynik odnosi się do jasno określonego modelu zadania.
Zastosuj wiedzę
Przykład krok po kroku
Światła migają od wspólnego startu co 4 s i 6 s. Kiedy znów razem?
Odkryj rozwiązanie i sprawdź rozumowanie
Pierwsze: 4, 8, 12, 16… s.
Drugie: 6, 12, 18… s.
Najmniejszy dodatni wspólny czas: 12 s.
12 jest podzielne przez 4 i przez 6.
Wniosek: Po 12 sekundach od wspólnego startu.
Źródło pojęć — przykład jest autorskiAutorski przykład dydaktyczny. Liczby i sytuacje modelowe nie są wynikami rzeczywistego badania.
Najważniejsze pojęcia
- dzielnik
- liczba dzieląca inną bez reszty
- wielokrotność
- iloczyn danej liczby i liczby całkowitej
- liczba pierwsza
- liczba naturalna z dokładnie dwoma dodatnimi dzielnikami
- NWD
- największy wspólny dzielnik
Najczęstsze pomyłki
- Liczba 1 nie jest pierwsza.
- Suma cyfr nie rozstrzyga podzielności przez każdą liczbę.
- NWD i NWW odpowiadają na inne pytania.
Podsumowanie do zapamiętania
- Podzielność oznacza dzielenie bez reszty.
- Cechy skracają sprawdzanie.
- Rozkład pierwszy jest jednoznaczny z dokładnością do kolejności.
- NWD grupuje, a NWW synchronizuje cykle.