Opracowanie edukacyjne

Liczby całkowite i działania – matematyka klasa 6

Liczby całkowite obejmują liczby naturalne, zero i liczby ujemne. Umożliwiają opisywanie temperatur poniżej zera, pięter podziemnych, długów i zmian w przeciwnych kierunkach. Oś liczbowa porządkuje je od najmniejszej po lewej do największej po prawej. Znak minus może oznaczać liczbę ujemną, działanie odejmowania albo liczbę przeciwną, dlatego zawsze trzeba odczytać jego rolę w całym zapisie.

Opracowanie: redakcja Quizowania · Standardy redakcyjne · Zgłoś błąd

Po tej lekcji potrafisz

porównywać liczby całkowite
wyznaczać liczbę przeciwną i wartość bezwzględną
dodawać i odejmować liczby ze znakami
mnożyć i dzielić z regułą znaków

Oś, porządek i odległość

Na osi każda liczba położona bardziej w prawo jest większa. Dlatego −3 jest większe od −8, choć 8 jako liczba naturalna jest większe od 3. Zero nie jest ani dodatnie, ani ujemne i stanowi granicę między tymi zbiorami.

Liczby przeciwne leżą po przeciwnych stronach zera w tej samej odległości i mają sumę zero. Liczbą przeciwną do −12 jest 12. Wartość bezwzględna |a| opisuje odległość liczby od zera, dlatego nigdy nie jest ujemna.

Dodawanie i odejmowanie

Dodawanie liczby dodatniej przesuwa punkt w prawo, a ujemnej w lewo. Gdy składniki mają różne znaki, porównujemy ich wartości bezwzględne, odejmujemy mniejszą od większej i zachowujemy znak liczby o większej wartości bezwzględnej.

Odejmowanie można zastąpić dodawaniem liczby przeciwnej: a−b=a+(−b). Stąd 2−(−6)=2+6=8. Dwa sąsiednie minusy nie znikają bez przyczyny; pierwszy oznacza odejmowanie, a drugi znak liczby odejmowanej.

Mnożenie, dzielenie i kontekst

Iloczyn lub iloraz liczb o jednakowych znakach jest dodatni, a o różnych znakach ujemny. Reguła wynika ze zgodności działań z rozdzielnością, nie z podobieństwa symboli. Najpierw ustalamy znak, potem wykonujemy działanie na wartościach bezwzględnych.

W zadaniu o temperaturze zmiana jest różnicą wartości końcowej i początkowej. Wzrost od −6°C do 2°C wynosi 8°C, ponieważ przekraczamy sześć stopni do zera i dwa kolejne. Wynik ujemny może być poprawny, jeśli opisuje stan lub kierunek.

Zmiana temperatury na osi liczbowej

Wzrost temperatury z −3°C do 5°C obejmuje trzy stopnie do zera i kolejnych pięć ponad zero. Razem daje osiem stopni. Rachunek zapisujemy jako różnicę temperatur końcowej i początkowej: 5 − (−3) = 8. Nawias pomaga zobaczyć, że odejmujemy liczbę ujemną, zamiast przypadkowo zamienić działanie na 5 − 3.

Warto odróżniać temperaturę końcową od zmiany temperatury. Wartość 5°C opisuje stan końcowy, a 8°C wielkość wzrostu w tym przykładzie. Gdy temperatura spada, różnica końcowa minus początkowa jest ujemna. Znak informuje o kierunku zmiany; jej odległość na osi liczbowej można natomiast opisać wartością bezwzględną.

Zastosuj wiedzę

Przykład krok po kroku

Temperatura rośnie z −3°C do 5°C. Oblicz zmianę.

Odkryj rozwiązanie i sprawdź rozumowanie

Stan początkowy: −3°C.
Stan końcowy: 5°C.
Różnica: 5 − (−3) = 8.
Na osi: trzy kroki do zera i pięć dalej.

Wniosek: Wzrost temperatury wynosi 8°C.

Źródło pojęć — przykład jest autorski

Autorski przykład dydaktyczny. Liczby i sytuacje modelowe nie są wynikami rzeczywistego badania.

Najważniejsze pojęcia

liczba całkowita: element zbioru ...,−2,−1,0,1,2,...
liczba przeciwna: liczba o tej samej odległości od zera i przeciwnym znaku
wartość bezwzględna: odległość liczby od zera
oś liczbowa: prosta z początkiem, jednostką i zwrotem

Najczęstsze pomyłki

Wśród liczb ujemnych większa wartość bezwzględna oznacza mniejszą liczbę.
Wartość bezwzględna nie zachowuje ujemnego znaku.
Odejmowanie liczby ujemnej daje dodawanie przeciwnej.

Podsumowanie do zapamiętania

Liczby rosną na osi w prawo.
Przeciwne sumują się do zera.
Odejmowanie zastępujemy dodawaniem przeciwnej.
Różne znaki w mnożeniu dają wynik ujemny.