Opracowanie edukacyjne

Skala, plan i mapa – matematyka klasa 5

Skala jest stosunkiem długości na rysunku, planie lub mapie do odpowiadającej jej długości rzeczywistej. Skala 1:10 000 oznacza, że jedna jednostka na mapie odpowiada dziesięciu tysiącom tych samych jednostek w terenie. Nie jest to automatycznie informacja w centymetrach lub kilometrach — najpierw trzeba ustalić jednostkę i wykonać przeliczenie. Skala pozwala zarówno pomniejszać duże obszary, jak i powiększać małe przedmioty.

Opracowanie: redakcja Quizowania · Standardy redakcyjne · Zgłoś błąd

Po tej lekcji potrafisz

interpretować skalę liczbową
obliczać odległość rzeczywistą i mapową
wyznaczać skalę z dwóch długości
porównywać szczegółowość map

Znaczenie i postacie skali

Zapis 1:n jest skalą pomniejszającą: obiekt rzeczywisty jest n razy dłuższy niż jego obraz. Skala 1:1 przedstawia rozmiar naturalny, a 2:1 jest dwukrotnym powiększeniem. Obie liczby stosunku muszą odnosić się do tej samej jednostki.

Mapa może podawać skalę liczbową, mianowaną lub liniową. Zapis 1 cm—1 km odpowiada skali 1:100 000, bo kilometr ma 100 000 cm. Podziałka liniowa pozostaje użyteczna po proporcjonalnym powiększeniu wydruku, gdy skala liczbowa przestaje odpowiadać rozmiarowi.

Obliczenia odległości

Aby znaleźć odległość rzeczywistą, mnożymy długość mapową przez mianownik skali i zamieniamy jednostki. Cztery centymetry w skali 1:50 000 to 200 000 cm, czyli 2 km. Krętą trasę mierzymy wzdłuż przebiegu, nie prostą między końcami.

Aby obliczyć długość na mapie, dzielimy długość rzeczywistą przez mianownik po ujednoliceniu jednostek. Trzy kilometry to 300 000 cm; w skali 1:100 000 otrzymujemy 3 cm. Skalę wyznaczamy, dzieląc długość rzeczywistą przez długość obrazu.

Duża i mała skala

Skala 1:10 000 jest większa od 1:100 000, ponieważ ułamek 1/10 000 ma większą wartość. Mapa w większej skali pokazuje zwykle mniejszy obszar bardziej szczegółowo. Określenie duży mianownik nie oznacza dużej skali.

Wynik warto oszacować. Jeśli 1 cm oznacza 1 km, odcinek kilku centymetrów nie może przedstawiać setek kilometrów. Dokładność odczytu ograniczają grubość linii, sposób pomiaru i generalizacja mapy, więc przesadna liczba miejsc po przecinku bywa pozorna.

Skala długości i zamiana jednostek

Przy skali 1:50 000 jeden centymetr mapy odpowiada 50 000 centymetrów terenu, czyli 500 metrom. Odcinek 3,2 cm odpowiada zatem 1600 m. Częstym błędem jest pominięcie jednostki po mnożeniu lub potraktowanie 50 000 jako liczby metrów. Zapis obu stron w centymetrach zabezpiecza sens proporcji i dopiero potem pozwala przejść do metrów lub kilometrów.

Skala dotyczy długości. Jeżeli zadanie pyta o pole, nie można użyć tego samego mnożnika bez rozważenia dwóch wymiarów. W obliczeniu odległości 1,6 km i 1600 m są równoważnymi zapisami, natomiast 16 km oznacza wynik dziesięć razy większy. Oszacowanie na podstawie faktu, że każdy centymetr daje pół kilometra, pomaga wykryć przesunięcie przecinka.

Zastosuj wiedzę

Przykład krok po kroku

Na mapie 1:50 000 odcinek ma 3,2 cm. Oblicz odległość.

Odkryj rozwiązanie i sprawdź rozumowanie

1 cm odpowiada 500 m.
3,2 × 500 m = 1600 m.
1600 m = 1,6 km.
Kontrola: nieco ponad 3 cm daje nieco ponad 1,5 km.

Wniosek: Odległość wynosi 1,6 km.

Źródło pojęć — przykład jest autorski

Autorski przykład dydaktyczny. Liczby i sytuacje modelowe nie są wynikami rzeczywistego badania.

Najważniejsze pojęcia

skala: stosunek długości obrazu do długości rzeczywistej
skala liczbowa: zapis stosunku, np. 1:50 000
skala mianowana: słowny zapis odpowiadających długości
podziałka liniowa: graficzny odcinek z opisanymi odległościami

Najczęstsze pomyłki

Większy mianownik oznacza mniejszą skalę.
Nie wolno tworzyć stosunku z różnych jednostek.
Krętej trasy nie zastępujemy odcinkiem prostym.

Podsumowanie do zapamiętania

Skala porównuje odpowiadające długości.
Jednostki muszą być jednakowe.
Duża skala daje więcej szczegółów.
Podziałka liniowa wspiera praktyczny pomiar.