Opracowanie edukacyjne

Prostopadłościany, graniastosłupy i objętość – matematyka klasa 6

Bryły zajmują przestrzeń, dlatego oprócz krawędzi i pola powierzchni mają objętość. Prostopadłościan ma sześć prostokątnych ścian, dwanaście krawędzi i osiem wierzchołków; sześcian jest jego szczególnym przypadkiem. Graniastosłup ma dwie przystające, równoległe podstawy oraz ściany boczne. Objętość mierzy się jednostkami sześciennymi i można ją rozumieć jako liczbę sześcianów jednostkowych wypełniających bryłę.

Opracowanie: redakcja Quizowania · Standardy redakcyjne · Zgłoś błąd

Po tej lekcji potrafisz

rozpoznawać elementy prostopadłościanu
odczytywać i tworzyć siatki
obliczać pole powierzchni
obliczać objętość i zamieniać jednostki sześcienne

Budowa i siatki

Ściany prostopadłościanu tworzą trzy pary przystających prostokątów. Krawędzie w każdym z trzech kierunków mają wspólną długość. W sześcianie wszystkie ściany są kwadratami i wszystkie krawędzie są równe, lecz liczby ścian, krawędzi i wierzchołków pozostają takie same.

Siatka przedstawia wszystkie ściany rozłożone na płaszczyźnie. Poprawna siatka musi po złożeniu zamknąć bryłę bez nakładania ścian. Sam zestaw sześciu kwadratów nie wystarczy — znaczenie ma sposób ich połączenia. Zakładki opakowania nie są ścianami matematycznej bryły.

Pole powierzchni

Pole powierzchni jest sumą pól wszystkich ścian. Dla prostopadłościanu o wymiarach a, b i h wynosi 2ab+2ah+2bh. Dla sześcianu otrzymujemy 6a². Wynik zapisujemy w jednostkach kwadratowych.

W zadaniach praktycznych trzeba sprawdzić, czy liczymy całą powierzchnię. Pudełko bez pokrywki nie ma jednej ściany, a akwarium może nie wymagać szkła na górze. Pole siatki jest równe polu powierzchni bryły, jeśli nie uwzględniamy zakładek.

Objętość i pojemność

Objętość prostopadłościanu wynosi a×b×h. Dla dowolnego prostego graniastosłupa jest iloczynem pola podstawy i wysokości. Wynik ma jednostkę sześcienną, ponieważ mnożymy trzy wymiary długości lub pole przez długość.

Jeden decymetr sześcienny ma 1000 cm³ i odpowiada jednemu litrowi. Akwarium 50×30×40 cm ma 60 000 cm³, czyli 60 litrów pojemności geometrycznej. Rzeczywista ilość wody może być mniejsza przez niewypełnienie do brzegu i elementy wewnętrzne.

Objętość pudełka a pole jego powierzchni

Pudełko o wymiarach 2 dm, 3 dm i 4 dm ma objętość 24 dm³. Mnożymy trzy długości, bo opisujemy przestrzeń wypełnianą przez bryłę. Pole powierzchni zamkniętego pudełka liczymy inaczej: sumujemy pola trzech par prostokątów. W tym przypadku wynosi ono 2 × (6 + 8 + 12) = 52 dm², a nie 24 dm².

Jednemu decymetrowi sześciennemu odpowiada jeden litr, więc geometryczna objętość wynosi 24 l. Przy rzeczywistym opakowaniu grubość ścian i wolna przestrzeń mogą sprawić, że użyteczna pojemność będzie inna. W szkolnym modelu pomijamy te szczegóły, ale nazywamy założenie. Nie należy mylić jednostek dm² i dm³ ani przeliczać ich tak, jakby oznaczały tę samą wielkość.

Zastosuj wiedzę

Przykład krok po kroku

Oblicz objętość modelowego prostopadłościanu 2 dm × 3 dm × 4 dm.

Odkryj rozwiązanie i sprawdź rozumowanie

Długości: 2 dm, 3 dm i 4 dm.
Wzór: V = a × b × c.
V = 2 × 3 × 4 = 24 dm³.
Przeliczenie: 24 dm³ = 24 l.

Wniosek: Objętość geometryczna to 24 dm³, czyli 24 l.

Źródło pojęć — przykład jest autorski

Autorski przykład dydaktyczny. Liczby i sytuacje modelowe nie są wynikami rzeczywistego badania.

Najważniejsze pojęcia

bryła: obiekt zajmujący przestrzeń
graniastosłup: bryła o dwóch przystających równoległych podstawach
siatka: płaski układ ścian możliwy do złożenia
objętość: miara przestrzeni zajmowanej przez bryłę

Najczęstsze pomyłki

Pole powierzchni ma jednostki kwadratowe, a objętość sześcienne.
Nie każdy układ sześciu kwadratów jest siatką sześcianu.
Przy zamianie objętości współczynnik długości podnosimy do trzeciej potęgi.

Podsumowanie do zapamiętania

Prostopadłościan ma 6 ścian, 12 krawędzi i 8 wierzchołków.
Siatka zawiera wszystkie ściany.
Pole powierzchni jest sumą pól ścian.
Objętość graniastosłupa to pole podstawy razy wysokość.