Opracowanie edukacyjne

Liczby wymierne i potęgi – matematyka klasa 7

Liczby wymierne można zapisać jako iloraz dwóch liczb całkowitych z niezerowym mianownikiem. Obejmują liczby całkowite, ułamki zwykłe oraz rozwinięcia dziesiętne skończone lub okresowe. Potęga porządkuje wielokrotne mnożenie i pozwala wygodnie opisywać bardzo duże oraz bardzo małe wartości. Reguły działań na potęgach wymagają spełnienia warunków dotyczących podstaw i wykładników.

Opracowanie: redakcja Quizowania · Standardy redakcyjne · Zgłoś błąd

Po tej lekcji potrafisz

rozumieć definicje i warunki
wykonywać poprawne przekształcenia
rozwiązywać zadania w kontekście
kontrolować wynik drugim sposobem

Liczby wymierne i działania

Dodając ułamki, sprowadzamy je do wspólnego mianownika; mnożąc, możemy skracać czynniki przed wykonaniem iloczynu. Dzielenie przez niezerowy ułamek zastępujemy mnożeniem przez odwrotność. Znak wyniku zależy od liczby ujemnych czynników.

Każda liczba wymierna ma rozwinięcie dziesiętne skończone albo okresowe. Ułamek 1/8 daje 0,125, a 1/3 daje 0,(3). Nie każde rozwinięcie nieskończone jest wymierne: liczby takie jak √2 i π nie mają okresowego rozwinięcia.

Potęgi

Dla tej samej podstawy w mnożeniu dodajemy wykładniki, w dzieleniu odejmujemy, a potęgując potęgę — mnożymy je. Te reguły nie pozwalają na podobne łączenie sumy: 2²+2³ nie jest 2⁵.

Niezerowa liczba do potęgi zerowej wynosi 1. Ujemny wykładnik oznacza odwrotność, na przykład 10⁻³=1/1000. Nawias rozstrzyga, czy znak jest potęgowany: (−2)²=4, ale −2²=−4.

Notacja naukowa

Zapis a×10ⁿ, gdzie 1≤|a|<10, ułatwia prezentowanie wielkości. Liczba 420 000 ma postać 4,2×10⁵, a 0,00042 to 4,2×10⁻⁴.

W działaniach trzeba zachować wartość, nie tylko przesuwać przecinek. Oszacowanie wykładnika pozwala wykryć pomyłkę o kilka rzędów wielkości.

Ułamki: wspólny mianownik i sprawdzenie sumy

W sumie 2/3 + 5/6 wspólnym mianownikiem jest sześć. Zamiana 2/3 na 4/6 zachowuje wartość, ponieważ mnożymy licznik i mianownik przez dwa. Dopiero wtedy dodajemy liczniki: 4/6 + 5/6 = 9/6 = 3/2. Nie dodajemy mianowników do siebie. Wynik 7/9 byłby mniejszy od jedności, choć oba dodatnie składniki razem przekraczają jeden.

Rachunek można skontrolować przybliżeniem: 2/3 to około 0,67, a 5/6 około 0,83. Razem otrzymujemy około 1,5, zgodnie z dokładnym wynikiem 3/2. Przy potęgach obowiązują inne reguły niż przy sumowaniu ułamków: na przykład 2² × 2³ = 2⁵, lecz 2² + 2³ = 12. Podobny wygląd symboli nie uzasadnia przenoszenia przepisu z jednego działania na drugie. Warunki dotyczące podstawy, wykładnika i dzielnika trzeba ustalić osobno dla konkretnego zapisu.

Zastosuj wiedzę

Przykład krok po kroku

Oblicz 2/3 + 5/6 bez zamiany na przybliżenia.

Odkryj rozwiązanie i sprawdź rozumowanie

2/3 = 4/6.
4/6 + 5/6 = 9/6.
9/6 skracamy do 3/2.
Kontrola: 3/2 = 1,5.

Wniosek: Dokładna suma to 3/2.

Źródło pojęć — przykład jest autorski

Autorski przykład dydaktyczny. Liczby i sytuacje modelowe nie są wynikami rzeczywistego badania.

Najważniejsze pojęcia

liczba wymierna: iloraz liczb całkowitych
odwrotność: liczba dająca iloczyn 1
potęga: zapis wielokrotnego mnożenia
notacja naukowa: zapis a×10ⁿ

Najczęstsze pomyłki

Mianownik nie może być zerem.
Wykładników nie dodajemy przy dodawaniu potęg.
Minus bez nawiasu nie zawsze należy do podstawy.

Podsumowanie do zapamiętania

Wymierne mają rozwinięcia skończone lub okresowe.
Dzielenie ułamków używa odwrotności.
Reguły potęg zależą od rodzaju działania.
Notacja naukowa pokazuje rząd wielkości.