Opracowanie edukacyjne

Pierwiastki i działania na nich – matematyka klasa 7

Pierwiastek kwadratowy z liczby nieujemnej jest nieujemną liczbą, której kwadrat daje liczbę podpierwiastkową. Symbol √a oznacza pierwiastek główny, dlatego √81=9, a nie ±9. Znak ± pojawia się przy rozwiązywaniu równania x²=81, które ma dwa rozwiązania. Pierwiastki umożliwiają dokładny zapis wielkości, których rozwinięcia dziesiętne są nieskończone.

Opracowanie: redakcja Quizowania · Standardy redakcyjne · Zgłoś błąd

Po tej lekcji potrafisz

rozumieć definicje i warunki
wykonywać poprawne przekształcenia
rozwiązywać zadania w kontekście
kontrolować wynik drugim sposobem

Znaczenie pierwiastka

Dla a≥0 liczba √a jest jednoznacznie nieujemna. Równość (√a)²=a działa w tej dziedzinie. Natomiast √(a²)=|a|, ponieważ wynik pierwiastkowania nie może być ujemny.

Pierwiastek sześcienny istnieje również dla liczb ujemnych: ∛(−27)=−3. Wynika to z nieparzystej potęgi. Trzeba odróżniać zasady pierwiastka kwadratowego i sześciennego.

Upraszczanie i działania

Jeżeli pod pierwiastkiem występuje iloczyn z czynnikiem będącym kwadratem, można go wyłączyć: √50=√(25×2)=5√2. Wyrażenie jest prostsze, ale zachowuje dokładną wartość.

Dodajemy tylko podobne pierwiastki: 3√2+5√2=8√2. Iloczyn √a×√b można połączyć w √(ab) dla liczb nieujemnych. Nie istnieje analogiczna ogólna reguła √(a+b)=√a+√b.

Szacowanie

Aby oszacować √20, znajdujemy sąsiednie kwadraty: 16<20<25, zatem 4<√20<5. Przybliżenie można doprecyzować kalkulatorem, lecz odpowiedź dokładna pozostaje √20 lub 2√5.

Szacowanie pokazuje, czy wynik ma sens. Jeśli uproszczenie √50 da wartość mniejszą od 7 lub większą od 8, jest podejrzane, ponieważ 49<50<64.

Wyłączanie czynnika spod pierwiastka

Aby uprościć √72, szukamy w rozkładzie liczby 72 czynnika będącego kwadratem liczby całkowitej. Wygodny jest zapis 72 = 36 × 2. Dla nieujemnych czynników można więc napisać √72 = √36 × √2 = 6√2. Nie wolno zastąpić tego sumą √36 + √2, bo pierwiastek z iloczynu i suma pierwiastków oznaczają inne wyrażenia. Zapis 6√2 jest dokładny, mimo że zawiera symbol pierwiastka.

Wynik można sprawdzić przez podniesienie do kwadratu: (6√2)² = 36 × 2 = 72. Liczba 72 leży między 64 a 81, dlatego jej dodatni pierwiastek musi leżeć między 8 a 9. Samo zaokrąglenie do ośmiu nie jest dokładną odpowiedzią. Przy porównywaniu dodatnich pierwiastków pomocne są kwadraty liczb, ale przed zastosowaniem tej metody trzeba rozpoznać znaki porównywanych wielkości i to, czy zadanie wymaga dokładności, czy oszacowania.

Zastosuj wiedzę

Przykład krok po kroku

Uprość √72 i sprawdź wynik.

Odkryj rozwiązanie i sprawdź rozumowanie

72 = 36 × 2.
√72 = √36 × √2.
Wynik dokładny: 6√2.
Kontrola: (6√2)² = 72, a 8 < √72 < 9.

Wniosek: √72 = 6√2.

Źródło pojęć — przykład jest autorski

Autorski przykład dydaktyczny. Liczby i sytuacje modelowe nie są wynikami rzeczywistego badania.

Najważniejsze pojęcia

pierwiastek główny: nieujemny pierwiastek kwadratowy
liczba podpierwiastkowa: wyrażenie pod znakiem pierwiastka
pierwiastki podobne: pierwiastki z tą samą częścią niewymierną
wartość dokładna: zapis bez zaokrąglenia

Najczęstsze pomyłki

√a nie oznacza automatycznie ±√a.
√(a²)=|a|, nie zawsze a.
Pierwiastka sumy nie rozdzielamy na sumę pierwiastków.

Podsumowanie do zapamiętania

Pierwiastek główny jest nieujemny.
Równanie kwadratowe może mieć dwa rozwiązania.
Kwadraty czynników można wyłączać.
Sąsiednie kwadraty służą do szacowania.