Opracowanie edukacyjne

Wyrażenia algebraiczne i przekształcenia – matematyka klasa 7

Wyrażenie algebraiczne łączy liczby, zmienne i działania. Zmienna może reprezentować dowolną liczbę z dopuszczalnej dziedziny, a współczynnik mówi, przez jaką liczbę jest mnożona. Przekształcenie równoważne zmienia postać, lecz nie wartość wyrażenia dla każdej dopuszczalnej zmiennej. Redukcja wyrazów podobnych, usuwanie nawiasów i wyłączanie czynnika wymagają zachowania znaków.

Opracowanie: redakcja Quizowania · Standardy redakcyjne · Zgłoś błąd

Po tej lekcji potrafisz

rozumieć definicje i warunki
wykonywać poprawne przekształcenia
rozwiązywać zadania w kontekście
kontrolować wynik drugim sposobem

Wyrazy podobne

Wyrazy są podobne, gdy mają identyczną część literową z tymi samymi wykładnikami. Dlatego 3x i 5x można połączyć w 8x, ale x oraz x² nie są podobne.

Stałe łączymy ze stałymi, a każdy rodzaj części literowej osobno. Porządkowanie składników ułatwia redukcję, lecz ich przestawianie opiera się na przemienności dodawania.

Nawiasy i rozdzielność

Reguła a(b+c)=ab+ac oznacza pomnożenie każdego składnika nawiasu. Przy ujemnym czynniku zmieniają się odpowiednie znaki: −2(3x−5)=−6x+10.

Minus przed nawiasem jest mnożeniem przez −1. W (x+4)−(2x−3) po usunięciu drugiego nawiasu otrzymujemy x+4−2x+3. Pominięcie zmiany jednego znaku jest częstym błędem.

Wartość i model

Wartość wyrażenia obliczamy przez podstawienie liczby za każdą zmienną i zachowanie kolejności działań. Dla x=−2 zapis x² wymaga nawiasu w obliczeniu: (−2)²=4.

Algebra opisuje zależności. Obwód prostokąta o bokach x i x+3 wynosi 2x+2(x+3)=4x+6. Taki wzór działa dla wszystkich dodatnich wartości x, a nie tylko jednego przykładu.

Nawias poprzedzony minusem

W wyrażeniu 3(2x − 5) − 2(x + 4) każdy czynnik przed nawiasem mnoży wszystkie składniki nawiasu. Pierwszy iloczyn daje 6x − 15. Drugi, z uwzględnieniem znaku minus, daje −2x − 8. Zapis −2x + 8 byłby błędny: minus nie znika przy składniku dodatnim znajdującym się wewnątrz nawiasu. Rozpisanie obu iloczynów pozwala zlokalizować pomyłkę, zanim zaczniemy łączyć wyrazy podobne.

Łączymy teraz 6x i −2x oraz osobno −15 i −8. Otrzymujemy 4x − 23. Dla x = 2 wyrażenie ma wartość −15; można ją policzyć zarówno z formy początkowej, jak i uproszczonej. Zgodność jednego podstawienia pomaga wykrywać błędy, lecz nie jest dowodem równości dla wszystkich wartości zmiennej. Ogólne uzasadnienie daje poprawne zastosowanie rozdzielności i redukcji wyrazów podobnych. Składników zawierających x nie łączymy przez dodawanie ze stałymi liczbowymi.

Zastosuj wiedzę

Przykład krok po kroku

Uprość 3(2x − 5) − 2(x + 4).

Odkryj rozwiązanie i sprawdź rozumowanie

Pierwszy nawias: 6x − 15.
Drugi ze znakiem: −2x − 8.
Redukcja: 4x − 23.
Dla x = 2 obie postacie dają −15.

Wniosek: Uproszczona postać to 4x − 23.

Źródło pojęć — przykład jest autorski

Autorski przykład dydaktyczny. Liczby i sytuacje modelowe nie są wynikami rzeczywistego badania.

Najważniejsze pojęcia

zmienna: symbol reprezentujący liczbę
współczynnik: czynnik liczbowy wyrazu
wyrazy podobne: wyrazy o identycznej części literowej
przekształcenie równoważne: zmiana postaci bez zmiany wartości

Najczęstsze pomyłki

Nie łączymy x z x².
Minus przed nawiasem zmienia wszystkie znaki.
Podstawiana liczba ujemna wymaga nawiasu.

Podsumowanie do zapamiętania

Podobne mają tę samą część literową.
Rozdzielność usuwa nawiasy.
Wspólny czynnik można wyłączyć.
Wyrażenia tworzą ogólne modele.