Opracowanie edukacyjne

Układ współrzędnych i odczytywanie wykresów – matematyka klasa 7

Kartezjański układ współrzędnych pozwala opisać położenie punktu uporządkowaną parą (x,y). Oś pozioma Ox podaje odciętą, a pionowa Oy rzędną. Kolejności nie wolno zamieniać. Wykres przedstawia zbiór punktów spełniających zależność i pozwala analizować wartości, przecięcia oraz kierunek zmian, ale wnioski muszą uwzględniać skalę osi i zakres danych.

Opracowanie: redakcja Quizowania · Standardy redakcyjne · Zgłoś błąd

Po tej lekcji potrafisz

rozumieć definicje i warunki
wykonywać poprawne przekształcenia
rozwiązywać zadania w kontekście
kontrolować wynik drugim sposobem

Punkty i ćwiartki

Początek układu ma współrzędne (0,0). Punkty na osi Ox mają y=0, a na Oy mają x=0. Punkty leżące na osiach nie należą do żadnej ćwiartki.

Znaki współrzędnych określają ćwiartkę: I (+,+), II (−,+), III (−,−), IV (+,−). Punkt odczytujemy, prowadząc pomocnicze proste do osi i respektując ich podziałkę.

Odległość, środek i symetria

Dla punktów o tej samej rzędnej odległość jest wartością bezwzględną różnicy odciętych. Analogicznie działa pionowy odcinek. W ogólnym przypadku można korzystać z twierdzenia Pitagorasa na różnicach współrzędnych.

Środek odcinka otrzymujemy przez uśrednienie osobno x i y. Odbicie względem Ox zmienia znak y, względem Oy znak x, a względem początku znaki obu współrzędnych.

Wykresy zależności

Aby sprawdzić, czy punkt leży na wykresie równania, podstawiamy jego współrzędne. Dla y=x−2 punkt (5,3) spełnia warunek, ponieważ 3=5−2.

Przecięcie z osią Oy wyznaczamy dla x=0, a z Ox dla y=0. Rosnący fragment oznacza, że wraz ze wzrostem x rośnie y. Nie oznacza automatycznie, że wszystkie wartości są dodatnie.

Kolejność współrzędnych i odbicie punktu

W punkcie A = (−2, 3) pierwsza współrzędna określa położenie poziome, a druga pionowe. Od początku układu przesuwamy się o dwie jednostki w lewo i trzy w górę. Punkt należy do drugiej ćwiartki. Zamiana kolejności na (3, −2) przenosi go do innej ćwiartki i opisuje inny punkt, chociaż zapis zawiera te same dwie liczby. Odczyt warto zawsze rozpoczynać od nazwania osi.

Odbicie względem osi poziomej zmienia znak współrzędnej pionowej, pozostawiając poziomą bez zmiany. Obrazem A jest więc A′ = (−2, −3). Oba punkty są tak samo oddalone od osi poziomej i znajdują się po jej przeciwnych stronach. Odbicie względem osi pionowej dałoby inny wynik: (2, 3). Nie należy mylić osi odbicia z osią, na której zmienia się znak. Odległość od osi nie może wyjść ujemna, nawet jeżeli współrzędna ma znak minus.

Zastosuj wiedzę

Przykład krok po kroku

Odbij A = (−2, 3) względem osi poziomej.

Odkryj rozwiązanie i sprawdź rozumowanie

Współrzędna pozioma pozostaje −2.
Współrzędna pionowa zmienia 3 na −3.
Obraz: A′ = (−2, −3).
Odległość obu punktów od osi poziomej wynosi 3.

Wniosek: Obrazem jest punkt (−2, −3).

Źródło pojęć — przykład jest autorski

Autorski przykład dydaktyczny. Liczby i sytuacje modelowe nie są wynikami rzeczywistego badania.

Najważniejsze pojęcia

odcięta: pierwsza współrzędna x
rzędna: druga współrzędna y
ćwiartka: jeden z czterech obszarów między osiami
wykres: zbiór punktów przedstawiających zależność

Najczęstsze pomyłki

W parze (x,y) kolejność ma znaczenie.
Punkt na osi nie leży w ćwiartce.
Rosnący wykres może mieć wartości ujemne.

Podsumowanie do zapamiętania

Ox jest pozioma, Oy pionowa.
Znaki wskazują ćwiartkę.
Środek używa średnich współrzędnych.
Punkt wykresu spełnia jego równanie.