Opracowanie edukacyjne

Trójkąty i czworokąty – matematyka klasa 4

Materiał dla klasy 4 uczy rozpoznawania trójkątów i czworokątów na podstawie ich własności. Policzysz boki, wierzchołki i przekątne, odróżnisz prostokąt od kwadratu oraz obliczysz obwód. Opis figury ma być wystarczający także bez rysunku: o jej nazwie decydują długości boków i kąty, a nie to, czy na kartce ustawiono ją poziomo.

Opracowanie: redakcja Quizowania · Standardy redakcyjne · Zgłoś błąd

Po tej lekcji potrafisz

Wskazywać boki, wierzchołki i przekątne prostych wielokątów.
Rozpoznawać trójkąt równoboczny, równoramienny i prostokątny.
Wyjaśniać związek między własnościami kwadratu, prostokąta i rombu.
Obliczać obwód jako sumę długości wszystkich boków w jednej jednostce.

Jak opisujemy wielokąt?

Trójkąt ma trzy boki i trzy wierzchołki, a czworokąt ma cztery boki i cztery wierzchołki. Boki są odcinkami tworzącymi zamknięty brzeg figury. W zwykłym rysunku wielokąta nie przecinają się poza wspólnymi końcami sąsiednich boków. Otwarta linia łamana nie zamyka figury, a okrąg nie jest wielokątem, ponieważ jego brzeg nie składa się z odcinków.

Oznaczmy kolejne wierzchołki czworokąta literami A, B, C, D, idąc po brzegu. Boki to AB, BC, CD i DA. Odcinek AC łączy wierzchołki, które nie są sąsiednie, dlatego jest przekątną. Drugą przekątną jest BD. W trójkącie każda para wierzchołków jest połączona bokiem, więc trójkąt nie ma przekątnych.

Trójkąty: osobno boki i kąty

Trójkąt równoboczny ma wszystkie trzy boki tej samej długości. Jeśli dwa boki mają po 5 cm, a trzeci ma 6 cm, trójkąt jest równoramienny, lecz nie równoboczny. Dwa wskazane równe boki nazywamy ramionami, a trzeci podstawą. Trójkąt o bokach 4 cm, 5 cm i 6 cm jest różnoboczny, bo żadna para boków nie ma jednakowej długości.

Możemy również nazwać trójkąt według jego kątów. Trójkąt prostokątny ma kąt prosty, czyli kąt o mierze 90°. Kąt prosty można porównać z narożnikiem kartki lub sprawdzić ekierką. Określenia dotyczące boków i kątów opisują różne cechy: trójkąt może być jednocześnie równoramienny i prostokątny. Samo słowo „równoramienny” nie mówi jeszcze, czy ma kąt prosty.

Prostokąt, kwadrat i romb

Prostokąt jest czworokątem o czterech kątach prostych. Jego przeciwległe boki są równej długości. Prostokąt o bokach 3 cm i 7 cm ma zatem dwa boki po 3 cm oraz dwa po 7 cm. Kwadrat ma cztery kąty proste i cztery jednakowe boki, więc spełnia także warunek bycia prostokątem. Każdy kwadrat jest prostokątem, lecz prostokąt 3 cm na 7 cm nie jest kwadratem.

Romb jest czworokątem o czterech jednakowych bokach. Nie musi mieć kątów prostych. Kwadrat ma cztery jednakowe boki, dlatego jest również rombem. Gdy pytamy o własności figury, może ona należeć do kilku takich grup naraz. Nie należy więc wybierać między nazwami „romb” i „prostokąt”, jakby zawsze wykluczały się wzajemnie.

Obrócenie papierowego kwadratu nie zmienia jego boków ani kątów. Kwadrat ustawiony jednym wierzchołkiem w dół pozostaje kwadratem. Również bardzo wąski prostokąt nadal ma cztery kąty proste. Podczas rozpoznawania sprawdzamy cechy podane w treści lub oznaczenia na rysunku; nie dopisujemy równych długości tylko dlatego, że podobnie wyglądają.

Obwód to droga po całym brzegu

Obwód wielokąta jest sumą długości wszystkich jego boków. Dla trójkąta o bokach 5 cm, 6 cm i 7 cm obliczamy 5 + 6 + 7 = 18 cm. Nie dodajemy przekątnych ani odcinków poprowadzonych wewnątrz figury. Wyobraź sobie cienką tasiemkę ułożoną dokładnie wzdłuż całego brzegu: potrzebna długość tasiemki odpowiada obwodowi.

W prostokącie o bokach 3 cm i 7 cm obwód wynosi 3 + 7 + 3 + 7 = 20 cm. Skrócony zapis to 2 · (3 + 7). Kwadrat o boku 6 cm ma obwód 4 · 6 = 24 cm. Obwód podajemy w jednostkach długości, na przykład centymetrach, a nie centymetrach kwadratowych, które służą do opisywania pola.

Przed dodawaniem uzgodnij jednostki. Jeśli prostokąt ma boki 2 dm i 5 cm, zamień 2 dm na 20 cm. Obwód wynosi wtedy 20 + 5 + 20 + 5 = 50 cm. Samo dodanie liczb 2 i 5 pomija różne jednostki. Sprawdzenie, czy uwzględniono wszystkie cztery boki, chroni również przed pomyleniem obwodu z sumą tylko dwóch sąsiednich boków.

Tok rozwiązania

Krok	Działanie
1	Policz boki i wierzchołki, a następnie odczytaj podane długości oraz kąty.
2	Rozpoznaj figurę na podstawie własności, niezależnie od jej ustawienia.
3	W zadaniu o obwodzie wypisz wszystkie boki i uzgodnij jednostki.
4	Dodaj długości i sprawdź, czy nie pominięto boku albo nie doliczono przekątnej.

Najważniejsze pojęcia

wierzchołek: Wspólny koniec dwóch sąsiednich boków wielokąta.
przekątna: Odcinek łączący dwa niesąsiednie wierzchołki wielokąta.
kąt prosty: Kąt o mierze 90°, taki jak narożnik prostokątnej kartki.
obwód: Suma długości wszystkich boków wielokąta.
romb: Czworokąt, którego wszystkie cztery boki mają jednakową długość.

Najczęstsze pomyłki

Kwadrat nie traci swojej nazwy po obróceniu: ustawienie figury nie zmienia jej boków i kątów.
Przekątna łączy niesąsiednie wierzchołki. Odcinek między sąsiednimi wierzchołkami jest bokiem.
Suma dwóch sąsiednich boków prostokąta to połowa obwodu, a nie cały obwód.
Nazwy figur mogą się zawierać: kwadrat jest zarówno prostokątem, jak i rombem.

Podsumowanie do zapamiętania

Trójkąt ma trzy boki, a czworokąt cztery.
Trójkąt nie ma przekątnych; czworokąt ma dwie.
O rodzaju figury decydują jej własności, a nie orientacja na kartce.
Obwód sumuje długości wszystkich boków wyrażone w jednej jednostce.