Opracowanie edukacyjne
Trójkąty i czworokąty – matematyka klasa 6
O rozpoznaniu figury nie decyduje jej ustawienie na kartce. Kwadrat obrócony tak, że jeden wierzchołek znajduje się na górze, nadal jest kwadratem: ma cztery równe boki i cztery kąty proste. Rysunek pomaga zobaczyć figurę, ale nie uprawnia do dopisania własności, których nie podano. Zanim nazwiesz czworokąt, ustal, co wiadomo o jego bokach, kątach i przekątnych.
Po tej lekcji potrafisz
- Obliczać brakującą miarę kąta trójkąta.
- Sprawdzać możliwość zbudowania trójkąta z podanych odcinków.
- Rozpoznawać własności szczególnych czworokątów.
- Odróżniać warunek wystarczający od cechy tylko niektórych figur.
Najpierw własności, potem nazwa
Nazwa figury może wskazywać szczególny przypadek szerszej rodziny. Kwadrat spełnia warunki prostokąta, ponieważ ma cztery kąty proste. Spełnia też warunki rombu, ponieważ wszystkie jego boki są równe. Nie działa to w drugą stronę: prostokąt o bokach 3 cm i 5 cm nie jest kwadratem. Dlatego słowo „każdy” w zadaniu trzeba sprawdzić szczególnie uważnie.
Kąty w trójkącie
Suma miar kątów wewnętrznych trójkąta na płaszczyźnie wynosi 180°. Gdy dwa kąty mają 42° i 73°, trzeci obliczamy jako 180° − 42° − 73° = 65°. Sprawdzenie polega na ponownym dodaniu wszystkich trzech miar. Wynik 65° nie zależy od tego, czy rysunek wygląda na trójkąt wysoki, niski albo obrócony.
W trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie są równe. Jeśli kąt między ramionami ma 40°, na pozostałe dwa pozostaje 140°, więc każdy ma 70°. Trójkąt równoboczny ma wszystkie kąty równe: 180° : 3 = 60°. Nie przenoś jednak równości wszystkich kątów na dowolny trójkąt równoramienny.
Czy odcinki utworzą trójkąt?
Suma długości dwóch krótszych boków musi być większa od długości najdłuższego. Odcinki 3 cm, 4 cm i 8 cm nie utworzą trójkąta, ponieważ 3 + 4 < 8. Przy długościach 3 cm, 4 cm i 7 cm również nie powstanie trójkąt: równość oznaczałaby ułożenie odcinków wzdłuż jednej prostej, a nie zamkniętą figurę.
Dla długości 3 cm, 4 cm i 6 cm warunek jest spełniony: 3 + 4 > 6. Gdy najdłuższy bok jest już wskazany, wystarczy sprawdzić tę jedną nierówność. Pozostałe sumy na pewno przekroczą krótszy bok, bo długości są dodatnie. Uporządkowanie danych oszczędza rachunki, lecz nie zastępuje sprawdzenia warunku.
Przekątne i rodziny czworokątów
Przekątna łączy dwa niesąsiednie wierzchołki wielokąta. W prostokącie obie przekątne mają równą długość i przecinają się w swoich środkach. Nie muszą być prostopadłe: tę dodatkową własność ma prostokąt będący kwadratem. W rombie przekątne są prostopadłe i dzielą się na połowy, ale nie muszą być równe.
Suma kątów wewnętrznych czworokąta wynosi 360°. W czworokącie wypukłym można to uzasadnić podziałem przekątną na dwa trójkąty. Kwadrat ma cztery osie symetrii: dwie przekątne i dwie proste przechodzące przez środki przeciwległych boków. Oś musi dzielić figurę na części pokrywające się po złożeniu, a nie tylko przecinać ją na dwie części o takim samym polu.
Porównanie przykładów
| Figura | Własność do wykorzystania |
|---|---|
| Równoległobok | Dwie pary boków równoległych. |
| Prostokąt | Cztery kąty proste; przekątne równe. |
| Romb | Cztery równe boki; przekątne prostopadłe. |
| Kwadrat | Łączy własności prostokąta i rombu. |
Najważniejsze pojęcia
- Przekątna
- odcinek łączący niesąsiednie wierzchołki.
- Równoległobok
- czworokąt o dwóch parach boków równoległych.
- Romb
- czworokąt o czterech równych bokach.
- Oś symetrii
- prosta, względem której odbicie figury pokrywa się z nią samą.
Najczęstsze pomyłki
- Równość sumy dwóch boków i trzeciego nie wystarcza do zbudowania trójkąta.
- Przekątne każdego prostokąta nie muszą być prostopadłe.
- Nie każdy romb jest kwadratem.
Podsumowanie do zapamiętania
- W trójkącie kąty sumują się do 180°.
- W czworokącie kąty sumują się do 360°.
- Sprawdzaj nierówność trójkąta przed rysowaniem.
- Własności szczególnego przypadku nie muszą dotyczyć całej rodziny.