Opracowanie edukacyjne
Obwody i pola figur – matematyka klasa 6
Obwód opisuje długość brzegu figury, a pole wielkość jej powierzchni. Gdy planujesz ogrodzenie prostokątnego ogródka, potrzebujesz obwodu. Gdy obliczasz ilość trawy do pokrycia gruntu, potrzebujesz pola. Prostokąt o bokach 4 m i 7 m ma obwód 2 · 4 m + 2 · 7 m = 22 m, natomiast pole 4 m · 7 m = 28 m².
Po tej lekcji potrafisz
- Odróżniać obwód od pola.
- Dobierać podstawę i odpowiadającą jej wysokość.
- Stosować wzory pól trójkąta, równoległoboku, trapezu i rombu.
- Zamieniać jednostki pola i dzielić figury na części.
Brzeg i powierzchnia
Jednostka wyniku pomaga wykryć pomyłkę. Obwód wyrażamy w jednostkach długości, na przykład centymetrach lub metrach. Pole podajemy w jednostkach kwadratowych. Sam zapis „28” bez jednostki nie mówi, czy chodzi o powierzchnię gruntu, długość płotu czy liczbę przedmiotów. W zadaniu z danymi liczbowymi zapisuj jednostki także w obliczeniach.
Podstawa i wysokość muszą pasować
Wysokość jest wyznaczana prostopadle do wybranej podstawy albo prostej zawierającej tę podstawę. Nie wybieraj dowolnego odcinka wyglądającego na pionowy. Po obróceniu rysunku ta sama wysokość może być ukośna względem kartki, lecz nadal pozostaje prostopadła do podstawy. W niektórych trójkątach jej część leży poza wnętrzem figury, więc wysokość nie musi być bokiem.
Jeżeli równoległobok ma podstawę 9 cm i odpowiadającą wysokość 4 cm, jego pole wynosi 9 · 4 = 36 cm². Długość ukośnego boku nie może zastąpić wysokości. Trójkąt o takiej samej podstawie i wysokości ma połowę tego pola: 9 · 4 : 2 = 18 cm². Dzielenie przez dwa wynika z porównania figur, a nie z liczby danych w poleceniu.
Cztery wzory i znaczenie liter
We wzorze pola trapezu a i b oznaczają długości równoległych podstaw, a h odległość między prostymi, na których leżą. Dla podstaw 6 cm i 10 cm oraz wysokości 5 cm otrzymujemy (6 + 10) · 5 : 2 = 40 cm². Najpierw dodaj obie podstawy. Sam iloczyn ich długości nie uwzględnia wysokości i nie daje właściwego pola.
Romb o przekątnych 8 cm i 12 cm ma pole 8 · 12 : 2 = 48 cm². Wzór wykorzystuje prostopadłość przekątnych rombu. Nie wolno go stosować bez sprawdzenia warunków do dowolnego czworokąta. Ta sama litera w różnych zadaniach może oznaczać inną wielkość, dlatego znaczenie symboli ustalaj z opisu, a nie z pamięci jednego przykładu.
Jednostki kwadratowe
Jeden metr to 100 centymetrów, ale jeden metr kwadratowy to 100 cm · 100 cm, czyli 10 000 cm². Przelicznik długości działa w obu wymiarach. Dlatego 2 m² odpowiadają 20 000 cm², a nie 200 cm². Przed podstawieniem do wzoru wszystkie długości trzeba sprowadzić do wspólnej jednostki: 1 m i 50 cm to na przykład 100 cm i 50 cm.
Figury złożone
Figurę w kształcie litery L można potraktować jako duży prostokąt z wyciętym małym prostokątem albo podzielić na dwa prostokąty bez wspólnych wnętrz. Wybierz sposób, dla którego znasz potrzebne długości. Nie licz wspólnego fragmentu dwukrotnie. Przy obwodzie prześledź cały brzeg, także krawędzie wcięcia; suma obwodów użytych części może zawierać odcinki wewnętrzne, których nie ma na brzegu figury.
Porównanie przykładów
| Figura | Wzór i oznaczenia |
|---|---|
| Trójkąt | P = a · h : 2; h odpowiada podstawie a. |
| Równoległobok | P = a · h. |
| Trapez | P = (a + b) · h : 2. |
| Romb | P = e · f : 2; e i f są przekątnymi. |
Najważniejsze pojęcia
- Obwód
- długość brzegu figury.
- Pole
- miara powierzchni figury.
- Wysokość
- odcinek wyznaczający odpowiednią odległość prostopadłą.
- Jednostka kwadratowa
- jednostka pola, na przykład cm².
Najczęstsze pomyłki
- Nie zastępuj wysokości ukośnym bokiem.
- Nie przeliczaj m² na cm² tak samo jak metrów na centymetry.
- Nie dodawaj do obwodu odcinków leżących wewnątrz figury.
Podsumowanie do zapamiętania
- Ustal, czy zadanie dotyczy brzegu, czy powierzchni.
- Dopasuj wysokość do podstawy.
- Ujednolić jednostki trzeba przed obliczeniem.
- Sprawdź wzór, jednostkę i sens wyniku.