Opracowanie edukacyjne

Proporcjonalność prosta i odwrotna – matematyka klasa 7

Proporcjonalność opisuje szczególną zależność dwóch wielkości. W proporcjonalności prostej iloraz y/x jest stały i zapisujemy y=kx. W odwrotnej stały jest iloczyn xy, więc y=k/x. Sam fakt, że dwie wielkości jednocześnie rosną, nie dowodzi proporcjonalności. Trzeba sprawdzić stały iloraz lub iloczyn i ocenić, czy założenia zadania pozostają niezmienne.

Opracowanie: redakcja Quizowania · Standardy redakcyjne · Zgłoś błąd

Po tej lekcji potrafisz

rozumieć definicje i warunki
wykonywać poprawne przekształcenia
rozwiązywać zadania w kontekście
kontrolować wynik drugim sposobem

Proporcjonalność prosta

Jeśli cena jest stała za kilogram, koszt rośnie tyle razy, ile masa. Dla 3 kg za 18 zł cena jednostkowa wynosi 6 zł/kg, więc 5 kg kosztuje 30 zł. Stała k ma często konkretną jednostkę.

Wykres y=kx jest prostą przechodzącą przez początek układu. Dodatnie k daje wykres rosnący, ujemne malejący. Prosta nieprzechodząca przez początek opisuje inną zależność liniową.

Proporcjonalność odwrotna

Przy stałej ilości pracy liczba osób i czas mogą być odwrotnie proporcjonalne, jeśli wszyscy pracują w jednakowym tempie. Podwojenie liczby osób skraca wtedy czas o połowę, a iloczyn liczba×czas pozostaje stały.

Dla stałej drogi prędkość i czas spełniają v×t=s. Ograniczenia praktyczne mogą jednak zaburzyć model. Nie wolno stosować odwrotnej proporcjonalności tylko dlatego, że jedna wielkość maleje, gdy druga rośnie.

Tabela i równanie

W tabeli proporcjonalności prostej sprawdzamy wszystkie ilorazy y/x, a odwrotnej wszystkie iloczyny xy. Jeden pasujący wiersz nie wystarcza do ustalenia reguły.

Brakującą wartość można obliczyć z równania albo ceny jednostkowej. Mnożenie na krzyż jest konsekwencją równości ilorazów, nie regułą pozbawioną znaczenia.

Co w tabeli naprawdę pozostaje stałe?

Przy stałej cenie 3 zł za kilogram dwa kilogramy kosztują 6 zł, a cztery kilogramy 12 zł. Iloraz ceny przez masę jest ten sam: 6/2 = 12/4 = 3. To proporcjonalność prosta. Sama obserwacja, że obie wielkości rosną, nie wystarcza, by ją stwierdzić. Na przykład dodatkowa stała opłata za dostawę zmienia iloraz całkowitego kosztu i masy.

W modelu podziału jednej pracy między jednakowo wydajnych pracowników może być stały iloczyn liczby osób i czasu. Jeżeli trzy osoby pracują sześć godzin, model przewiduje trzy godziny dla sześciu osób. Założenie równej wydajności oraz możliwość podziału zadania muszą być jawne. Nie każda rzeczywista praca skraca się dokładnie o połowę po podwojeniu zespołu, dlatego wzoru nie stosuje się bez sprawdzenia sensu sytuacji.

Zastosuj wiedzę

Przykład krok po kroku

Cena wynosi 3 zł/kg, bez dodatkowych opłat. Ile kosztują 4 kg?

Odkryj rozwiązanie i sprawdź rozumowanie

Stały iloraz: cena / masa = 3 zł/kg.
Masa: 4 kg.
Koszt: 4 × 3 = 12 zł.
Kontrola: 12 zł / 4 kg = 3 zł/kg.

Wniosek: Koszt wynosi 12 zł.

Źródło pojęć — przykład jest autorski

Autorski przykład dydaktyczny. Liczby i sytuacje modelowe nie są wynikami rzeczywistego badania.

Najważniejsze pojęcia

stała proporcjonalności: stały współczynnik k
proporcjonalność prosta: zależność y=kx
proporcjonalność odwrotna: zależność y=k/x
cena jednostkowa: koszt jednej jednostki

Najczęstsze pomyłki

Wspólny wzrost nie dowodzi proporcjonalności.
W prostej stały jest iloraz, w odwrotnej iloczyn.
Model wymaga stałych warunków.

Podsumowanie do zapamiętania

Prosta ma postać y=kx.
Jej wykres przechodzi przez początek.
Odwrotna zachowuje iloczyn.
Tabela pozwala sprawdzić model.