Opracowanie edukacyjne
Twierdzenie Pitagorasa – matematyka klasa 8
Twierdzenie Pitagorasa wiąże długości boków trójkąta prostokątnego: suma kwadratów przyprostokątnych jest równa kwadratowi przeciwprostokątnej. Pozwala obliczać przekątne, odległości, wysokości i sprawdzać, czy trójkąt jest prostokątny. Warunkiem zastosowania jest kąt 90°; samo występowanie trzech boków nie wystarcza.
Po tej lekcji potrafisz
- wskazywać przeciwprostokątną i przyprostokątne
- obliczać brakujący bok z zachowaniem jednostek
- sprawdzać prostokątność za pomocą twierdzenia odwrotnego
- obliczać przekątną i odległość punktów
Treść i obliczenia
Dla przyprostokątnych a,b i przeciwprostokątnej c zachodzi a²+b²=c². Przeciwprostokątna leży naprzeciw kąta prostego i jest najdłuższa. Szukając jej, dodajemy kwadraty; szukając przyprostokątnej, odejmujemy.
Boki 6,8,10 tworzą trójkąt prostokątny, bo 36+64=100. Wynik pierwiastkowania jest długością, więc wybieramy wartość dodatnią i zapisujemy jednostkę.
Twierdzenie odwrotne
Jeśli dla najdłuższego boku c zachodzi a²+b²=c², trójkąt jest prostokątny. Najpierw trzeba uporządkować boki i sprawdzić, który jest najdłuższy.
Dla 6,8,11 mamy 100≠121, więc trójkąt nie jest prostokątny, choć istnieje. Nierówność wyniku nie oznacza automatycznie, że boków nie można połączyć.
Zastosowania
Przekątna prostokąta jest przeciwprostokątną trójkąta utworzonego przez boki. Dla kwadratu o boku a otrzymujemy d=a√2. Drabina oparta o ścianę tworzy model tylko wtedy, gdy ściana i podłoże są prostopadłe.
W układzie współrzędnych różnice x i y są przyprostokątnymi. Odległość punktów obliczamy jako pierwiastek z sumy kwadratów tych różnic. Rysunek pomaga wskazać boki, ale nie powinien być traktowany jako wykonany w skali.
Przykład krok po kroku: brakujący bok i kontrola wyniku
W trójkącie prostokątnym przeciwprostokątna ma 17 cm, a jedna przyprostokątna 8 cm. Narysuj szkic i oznacz szukaną przyprostokątną literą b. Bok 17 cm musi leżeć naprzeciw kąta prostego. Zapisz 8² + b² = 17², czyli 64 + b² = 289. Odejmij 64 po obu stronach: b² = 225. Ponieważ długość jest dodatnia, b = 15 cm. To ostatni krok, którego nie zastępuje samo obliczenie kwadratu długości.
Sprawdź wynik przez podstawienie: 8² + 15² = 64 + 225 = 289 = 17². Otrzymana przyprostokątna jest krótsza od przeciwprostokątnej. Gdybyś zamiast odejmowania wykonał dodawanie 17² + 8², uzyskałbyś bok dłuższy niż 17 cm, co przeczyłoby jego roli w tym trójkącie. Taka kontrola wykrywa pomylenie boków nawet wtedy, gdy rachunki wykonano bez błędu.
Przy przekątnej prostokąta zaznacz trójkąt utworzony przez dwa sąsiednie boki i przekątną. Na przykład dla boków 5 cm i 12 cm jest d² = 25 + 144 = 169, a więc d = 13 cm. Nie dodawaj 5 + 12, ponieważ otrzymasz długość drogi wzdłuż dwóch boków, a nie po przekątnej. Spróbuj samodzielnie obliczyć przekątną prostokąta 8 cm na 15 cm; poprawny wynik to 17 cm. Obie metody kontroli — równanie i porównanie długości — działają także w tym przykładzie.
Tok rozwiązania
| Krok | Co zrobić |
|---|---|
| 1 | Zaznacz kąt prosty i bok naprzeciw niego. |
| 2 | Zapisz sumę kwadratów przyprostokątnych równą kwadratowi przeciwprostokątnej. |
| 3 | Oblicz kwadrat szukanego boku, a potem dodatni pierwiastek. |
| 4 | Podstaw wynik do równania i zapisz jednostkę długości. |
Najważniejsze pojęcia
- przyprostokątna
- bok tworzący kąt prosty
- przeciwprostokątna
- bok naprzeciw kąta prostego
- trójka pitagorejska
- całkowite boki spełniające a²+b²=c²
- twierdzenie odwrotne
- kryterium rozpoznania trójkąta prostokątnego
Najczęstsze pomyłki
- Twierdzenie dotyczy trójkąta prostokątnego.
- Przeciwprostokątna musi być najdłuższa.
- Długość wybieramy jako dodatni pierwiastek.
Podsumowanie do zapamiętania
- a²+b²=c².
- Brakująca przyprostokątna wymaga odejmowania kwadratów.
- Twierdzenie odwrotne rozpoznaje kąt prosty.
- Wzór działa dla przekątnych i odległości.