Opracowanie edukacyjne
Podobieństwo figur – matematyka klasa 8
W tym materiale dla klasy 8 przećwiczysz skalę, porównywanie długości oraz obwodów. Podobieństwo figur i zależność między ich polami poznasz jako rozszerzenie. Najważniejsze pytanie brzmi: co porównujemy i w jakiej kolejności? Ten sam rysunek może być powiększeniem jednego wzoru, a pomniejszeniem drugiego, dlatego skalę zawsze odnosimy do wskazanej figury wyjściowej.
Po tej lekcji potrafisz
- Obliczać skalę z długości odpowiadających sobie odcinków.
- Przeliczać długości na planie i w rzeczywistości po uzgodnieniu jednostek.
- Rozróżniać zmianę obwodu k razy i zmianę pola k² razy.
- Sprawdzać proporcje boków przed uznaniem figur za podobne.
Skala zależy od kierunku porównania
Przyjmijmy, że figura A jest wzorem, a figurę B otrzymujemy przez zmianę jej rozmiaru. Skalę obliczamy jako długość odcinka w B podzieloną przez długość odpowiadającego mu odcinka w A. Jeśli bok długości 4 cm zmienia się w bok długości 10 cm, to k = 10 : 4 = 2,5. Każda długość w B jest wtedy 2,5 razy większa niż odpowiednia długość w A.
Porównanie odwrotne daje k = 4 : 10 = 0,4. Wyniki nie są sprzeczne: opisują dwa różne kierunki przekształcenia. Dla dodatniej skali większej od 1 otrzymujemy powiększenie, a dla skali mniejszej od 1 — pomniejszenie. Skala 1 zachowuje wszystkie długości. Zapisz kierunek porównania przed podstawieniem liczb, zwłaszcza gdy zadanie podaje obie figury jednocześnie.
Plan, rzeczywistość i jednakowe jednostki
Plan w skali 1:200 przedstawia odcinki dwieście razy krótsze od rzeczywistych. Odcinek długości 3,5 cm na planie odpowiada 700 cm, czyli 7 m w rzeczywistości. W drugą stronę: ściana długości 8 m ma 800 cm, a na takim planie 800 : 200 = 4 cm. Oba człony skali odnoszą się do tej samej jednostki długości.
Nie wystarczy dopisać do liczby większej jednostki. Błąd 3,5 · 200 = 700 m zwiększyłby właściwy wynik stukrotnie. Zapis pośredni w centymetrach pokazuje, skąd bierze się przeliczenie. Skala nie zmienia kątów: prostokątny pokój pozostaje na planie prostokątem, choć jego boki mierzymy już w centymetrach zamiast metrach.
Rozszerzenie: podobieństwo i obwody
Figury podobne mają taki sam kształt: odpowiednie kąty są równe, a odpowiadające sobie długości zmieniają się w jednej skali. Prostokąty o bokach 3 cm i 5 cm oraz 6 cm i 10 cm są podobne w skali 2. Prostokąt o bokach 6 cm i 9 cm nie jest takim powiększeniem: jeden bok wzrósł dwukrotnie, a drugi 1,8 raza.
Obwód jest sumą długości boków, więc również zmienia się k razy. Pierwszy prostokąt ma obwód 2 · (3 + 5) = 16 cm. Jego powiększenie ma obwód 32 cm. Można sprawdzić wynik niezależnie: 2 · (6 + 10) = 32 cm. Równe same obwody nie wystarczają jednak do stwierdzenia podobieństwa figur.
Rozszerzenie: pole zmienia się inaczej
Pole prostokąta 3 cm na 5 cm wynosi 15 cm². Po powiększeniu obu boków dwukrotnie otrzymujemy 6 · 10 = 60 cm², czyli cztery razy więcej. Ogólnie pola figur podobnych zmieniają się k² razy, ponieważ skalowanie dotyczy obu wymiarów powierzchni. Dla k = 3 pole rośnie dziewięciokrotnie; dla k = 1/2 maleje do jednej czwartej.
Jeżeli stosunek pola figury B do pola A wynosi 25, to dodatnia skala długości wynosi 5. Sprawdzamy ją przez 5² = 25. Nie przenosimy jednak tego wniosku na dowolne dwie figury: zależność między stosunkiem pól a skalą zakłada ich podobieństwo. Samo pole nie określa kształtu ani obwodu figury.
Tok rozwiązania
| Krok | Działanie |
|---|---|
| 1 | Wskaż figurę wyjściową i figurę otrzymaną. |
| 2 | Uzgodnij jednostki i przyporządkuj odpowiednie boki. |
| 3 | Wyznacz k; dla obwodu użyj k, a dla pola k². |
| 4 | Sprawdź, czy powiększenie lub pomniejszenie zgadza się z wynikiem. |
Najważniejsze pojęcia
- skala k
- Iloraz długości w figurze otrzymanej i odpowiadającej jej długości w figurze wyjściowej.
- odpowiadające sobie boki
- Boki zajmujące zgodne miejsca w porównywanych figurach.
- figury podobne
- Figury o jednakowym kształcie, których odpowiednie długości pozostają w jednej dodatniej skali.
- stosunek pól
- Iloraz pól; w figurach podobnych równy kwadratowi skali długości.
Najczęstsze pomyłki
- Odwrócenie ilorazu zmienia skalę: z A do B i z B do A otrzymujemy wartości wzajemnie odwrotne.
- Dwukrotny obwód nie oznacza dwukrotnego pola. W podobnym powiększeniu pole jest czterokrotne.
- Jedna zgodna para boków nie dowodzi podobieństwa prostokątów; trzeba porównać obie pary.
Podsumowanie do zapamiętania
- Skala porównuje długości zapisane w jednakowych jednostkach.
- Obwody figur podobnych zmieniają się k razy.
- Pola figur podobnych zmieniają się k² razy.
- Odwrotny kierunek porównania daje odwrotną skalę.