Opracowanie edukacyjne
Statystyka i prawdopodobieństwo – matematyka klasa 7
Materiał dla klasy 7 łączy odczytywanie danych, średnią arytmetyczną i proste doświadczenia losowe. Dodatkowo poznasz medianę oraz dominantę, które pomagają opisywać zbiory liczb, ale są tutaj uzupełnieniem zakresu. Pracujemy na małych zestawach, aby każdy wynik można było sprawdzić ręcznie i wyjaśnić, co rzeczywiście mówi o badanych danych.
Po tej lekcji potrafisz
- Obliczać średnią z uwzględnieniem wszystkich obserwacji, także powtórzeń i zer.
- Odczytywać liczbę obserwacji i ich sumę z prostego zestawienia.
- W dodatkowych przykładach wyznaczać medianę i dominantę małego zbioru.
- Obliczać prawdopodobieństwo przy jednakowo możliwych wynikach doświadczenia.
Najpierw ustal, co oznaczają dane
Pięć osób przeczytało w miesiącu odpowiednio 0, 2, 2, 3 i 8 książek. Mamy pięć obserwacji, choć występują tylko cztery różne liczby. Zero opisuje osobę, która nie przeczytała żadnej książki, więc nie wolno go pominąć przy liczeniu osób. Dwie wartości 2 także należy uwzględnić oddzielnie: odnoszą się do różnych osób.
Gdy dane przedstawiono w tabeli liczebności, trzeba odtworzyć tę samą informację. Jedna osoba z wynikiem 0, dwie z wynikiem 2, jedna z wynikiem 3 i jedna z wynikiem 8 dają łącznie 5 osób oraz 15 książek. Sumujemy liczebności, aby policzyć osoby, a iloczyny wyniku i liczebności, aby policzyć książki.
Średnia jako równy podział sumy
Średnia arytmetyczna to suma wartości podzielona przez liczbę obserwacji. Dla książek otrzymujemy (0 + 2 + 2 + 3 + 8) : 5 = 3. Oznacza to, że przy równym podziale 15 przeczytanych książek każdej osobie przypadłyby trzy. Nie oznacza to, że każda osoba faktycznie przeczytała tyle samo albo że trzy jest najczęstszym wynikiem.
Średnia reaguje na dużą zmianę jednej wartości. Jeśli ostatnia osoba przeczytałaby 18 zamiast 8 książek, suma wzrosłaby do 25, a średnia do 5. Pozostałe cztery wyniki nie zmieniłyby się. Dlatego przy opisywaniu grupy dobrze podać także dane lub ich rozkład; sama średnia może zasłaniać duże różnice między uczestnikami.
Uzupełnienie: mediana i dominanta
Medianę znajdujemy po uporządkowaniu liczb od najmniejszej do największej. Przy pięciu obserwacjach wybieramy trzecią, czyli środkową. Mediana danych 0, 2, 2, 3, 8 wynosi 2. Dla parzystej liczby obserwacji liczymy średnią dwóch środkowych: dane 1, 3, 4, 10 mają medianę (3 + 4) : 2 = 3,5.
Dominanta jest wartością występującą najczęściej. W pierwszym zestawie wynosi 2, bo tylko ten wynik się powtarza. Zbiór może mieć kilka dominant: w danych 1, 1, 4, 4, 7 równie często pojawiają się 1 i 4. Nie wybieramy większej z nich według uznania. Mediana, dominanta i średnia odpowiadają na różne pytania, dlatego ich wyniki nie muszą być równe.
Prawdopodobieństwo i warunek równych szans
Przy jednym rzucie uczciwą sześcienną kostką mamy sześć jednakowo możliwych wyników. Wyniki większe od 4 to 5 oraz 6, więc prawdopodobieństwo tego zdarzenia wynosi 2/6 = 1/3. W liczniku zapisujemy liczbę wyników spełniających warunek, a w mianowniku liczbę wszystkich możliwych wyników. Taki sposób liczenia wymaga jednakowych szans tych wyników.
W worku znajduje się 3 czerwone i 2 niebieskie kule, nierozróżnialne dotykiem. Przy losowaniu jednej kuli po dokładnym wymieszaniu każda kula ma jednakową szansę, lecz kolory nie są jednakowo prawdopodobne. Szansa czerwonej wynosi 3/5, a nie 1/2. Są dwa kolory, ale pięć równoprawdopodobnych wyników na poziomie pojedynczych kul.
Prawdopodobieństwo 1/3 nie gwarantuje dokładnie jednego sukcesu w trzech próbach. Opisuje model losowania, a krótka seria może dać różne wyniki. W rozpatrywanym skończonym modelu z jednakowo prawdopodobnymi wynikami wartość 0 oznacza zdarzenie niemożliwe, a 1 zdarzenie pewne. Liczba ujemna albo większa od 1 sygnalizuje błąd obliczenia.
Tok rozwiązania
| Krok | Działanie |
|---|---|
| 1 | Nazwij obserwację lub pojedynczy wynik doświadczenia. |
| 2 | Policz wszystkie obserwacje; w losowaniu sprawdź równość szans. |
| 3 | Dobierz średnią, medianę, dominantę albo iloraz wyników sprzyjających i wszystkich. |
| 4 | Wyjaśnij wynik w kontekście książek, osób lub losowania. |
Najważniejsze pojęcia
- obserwacja
- Pojedynczy zarejestrowany wynik; taka sama wartość może występować w wielu obserwacjach.
- średnia arytmetyczna
- Suma wszystkich wartości podzielona przez ich liczbę.
- mediana
- Środkowa wartość uporządkowanych danych lub średnia dwóch środkowych wartości.
- dominanta
- Wartość mająca największą liczebność w zestawie danych.
- wyniki równoprawdopodobne
- Wyniki doświadczenia, z których każdy ma taką samą szansę wystąpienia.
Najczęstsze pomyłki
- Dzielenie sumy przez liczbę różnych wartości daje złą średnią; liczymy wszystkie obserwacje.
- Mediana wymaga uporządkowania danych. Środkowa pozycja w przypadkowym zapisie nie wystarcza.
- Dwa kolory kul nie oznaczają dwóch równych szans, jeśli liczby kul tych kolorów są różne.
Podsumowanie do zapamiętania
- Średnia uwzględnia każdą wartość i jej powtórzenia.
- Mediana i dominanta uzupełniają opis danych.
- Iloraz liczby wyników wymaga ich jednakowego prawdopodobieństwa.
- Prawdopodobieństwo należy do przedziału od 0 do 1.