Równania liniowe i zadania tekstowe – matematyka klasa 8

Po tej lekcji potrafisz

• Wykonywać jednakowe działania po obu stronach równania.
• Usuwać nawiasy i mianowniki bez pomijania składników.
• Układać równanie na podstawie ceny, liczby przedmiotów i łącznego kosztu.
• Rozpoznawać jedno rozwiązanie, brak rozwiązania i równanie tożsamościowe.

Równość trzeba zachować po obu stronach

Rozwiązać równanie to znaleźć wszystkie wartości niewiadomej, dla których obie strony mają tę samą wartość. W równaniu 5x + 7 = 32 odejmujemy 7 od obu stron, otrzymując 5x = 25. Następnie dzielimy obie strony przez 5, więc x = 5. Sprawdzenie w początkowym zapisie daje 5 · 5 + 7 = 32.

Możemy dodać lub odjąć po obu stronach tę samą liczbę bądź to samo wyrażenie. Możemy też obie strony pomnożyć lub podzielić przez tę samą liczbę różną od zera. Popularne „przenoszenie ze zmianą znaku” jest skrótem odejmowania tego samego składnika po obu stronach. Zrozumienie tego kroku pomaga uniknąć przypadkowego zmieniania znaków.

Nawiasy i ułamki krok po kroku

Rozwiążmy 3(x − 2) + 4 = 2x + 9. Najpierw mnożymy każdy składnik nawiasu przez 3: 3x − 6 + 4 = 2x + 9. Po redukcji dostajemy 3x − 2 = 2x + 9. Odejmujemy 2x, dodajemy 2 i otrzymujemy x = 11. Kontrola: lewa strona wynosi 3 · 9 + 4 = 31, a prawa 22 + 9 = 31.

W równaniu x/3 + 2 = 5 mnożymy całe obie strony przez 3: x + 6 = 15, zatem x = 9. Liczba 2 również została pomnożona. Przy kilku mianownikach wygodna jest ich wspólna wielokrotność. Ta metoda usuwa ułamki, ale nie zwalnia z mnożenia każdego składnika obu stron równania.

Od opisu zakupów do równania

Trzy jednakowe zeszyty i długopis za 6 zł kosztują razem 27 zł. Oznaczmy cenę jednego zeszytu przez x zł. Zapis 3x + 6 = 27 opisuje cały zakup, ponieważ 3x jest ceną trzech zeszytów. Po odjęciu 6 otrzymujemy 3x = 21, a po podzieleniu przez 3: x = 7. Jeden zeszyt kosztuje 7 zł.

Podstawienie do treści daje 3 · 7 zł + 6 zł = 27 zł, więc model i obliczenia są zgodne. Gdy niewiadoma oznacza liczbę zeszytów, musi być liczbą całkowitą nieujemną; gdy oznacza cenę, interpretujemy ją w jednostkach pieniężnych. Nie wystarczy rozwiązać dowolnego równania z liczbami z zadania — zapis musi odzwierciedlać opisane zależności.

Co oznacza zniknięcie niewiadomej?

W równaniu 4x + 3 = 4x + 8 odejmujemy 4x od obu stron i dostajemy 3 = 8. Ta równość jest fałszywa, więc żadna liczba nie rozwiązuje równania. Nie zapisujemy x = 0: zero także nie spełnia pierwotnego warunku, bo wtedy lewa strona ma wartość 3, a prawa 8.

Inaczej działa 2(x + 3) = 2x + 6. Po usunięciu nawiasu obie strony są identyczne. Równanie jest prawdziwe dla każdej liczby rzeczywistej, więc ma nieskończenie wiele rozwiązań. Jeśli wystąpi jako model zadania tekstowego, osobno uwzględniamy ograniczenia z treści. Sama zgodna równość nie pozwala wyznaczyć jednej szczególnej wartości x.

Tok rozwiązania

Najważniejsze pojęcia

niewiadoma

Liczba oznaczona literą, której dopuszczalnych wartości szukamy.

rozwiązanie równania

Wartość niewiadomej, po podstawieniu której obie strony są równe.

równania równoważne

Równania mające ten sam zbiór rozwiązań.

równanie sprzeczne

Równanie, którego nie spełnia żadna dopuszczalna wartość niewiadomej.

równanie tożsamościowe

Równanie spełnione przez każdą wartość z rozpatrywanej dziedziny.

Najczęstsze pomyłki

• Zapis 3(x − 2) = 3x − 2 jest błędny: mnożymy przez 3 oba składniki nawiasu.
• Mnożąc równanie przez wspólny mianownik, nie pomijamy składników bez ułamków.
• Sprzeczna równość po redukcji oznacza brak rozwiązań, a nie rozwiązanie x = 0.

Podsumowanie do zapamiętania

• Poprawne przekształcenie zachowuje zbiór rozwiązań.
• Działanie wykonujemy po obu stronach równania.
• W zadaniu tekstowym trzeba wyjaśnić znaczenie niewiadomej.
• Podstawienie sprawdza rachunek, a treść zadania — sens wyniku.