Opracowanie edukacyjne
Koło, okrąg i długość okręgu – matematyka klasa 8
W materiale dla klasy 8 odróżnisz okrąg od koła, obliczysz długość okręgu oraz pole koła. Następnie zastosujesz te wzory do półkola i pierścienia kołowego. Każdy przykład zaczyna się od ustalenia, czy szukamy długości brzegu, czy powierzchni. To rozróżnienie decyduje zarówno o wzorze, jak i jednostce odpowiedzi.
Po tej lekcji potrafisz
- Rozpoznawać promień, średnicę i cięciwę oraz odróżniać koło od okręgu.
- Stosować wzory L = 2πr i P = πr² z właściwymi jednostkami.
- Uwzględniać średnicę przy obliczaniu obwodu półkola.
- Obliczać pole pierścienia jako różnicę pól dwóch współśrodkowych kół.
Okrąg jest brzegiem koła
Okrąg składa się z punktów oddalonych od środka dokładnie o promień r. Koło obejmuje ten brzeg oraz wszystkie punkty wewnątrz. Dlatego pytanie o długość okręgu dotyczy linii, a pytanie o pole koła dotyczy powierzchni. Punkt odległy od środka o 2 cm leży wewnątrz koła o promieniu 5 cm, lecz nie leży na jego okręgu.
Promień łączy środek z punktem okręgu. Cięciwa łączy dwa punkty okręgu, a średnica jest cięciwą przechodzącą przez środek. Jej długość wynosi d = 2r. Jeśli zadanie podaje średnicę 14 cm, to promień wynosi 7 cm. Warto zapisać go osobno, zanim użyjemy wzoru na pole.
Długość okręgu i liczba π
Liczba π opisuje stały stosunek długości okręgu do jego średnicy. Stąd L = πd = 2πr. Dla promienia 7 cm długość okręgu wynosi dokładnie 14π cm. Jeżeli w zadaniu przyjmujemy π ≈ 3,14, otrzymujemy przybliżenie 43,96 cm. Znak przybliżenia przypomina, że skończone rozwinięcie dziesiętne nie jest dokładną wartością π.
Gdy długość okręgu wynosi 18π cm, równanie 2πr = 18π prowadzi do r = 9 cm. Średnica ma wtedy 18 cm. Możemy sprawdzić odpowiedź drugim wzorem: πd = 18π cm. Nie trzeba zamieniać π na liczbę dziesiętną, jeżeli ten czynnik występuje po obu stronach i się skraca.
Pole koła i zmiana promienia
Pole koła obliczamy ze wzoru P = πr². Dla r = 7 cm dostajemy 49π cm². Jeśli znamy średnicę 10 cm, najpierw wyznaczamy r = 5 cm, a następnie P = 25π cm². Podstawienie średnicy zamiast promienia dałoby 100π cm², czyli wynik czterokrotnie za duży.
Podwojenie promienia podwaja długość okręgu, ale zwiększa pole czterokrotnie: (2r)² = 4r². Koła o promieniach 2 cm i 6 cm mają pola 4π cm² oraz 36π cm². Stosunek promieni wynosi 3, a stosunek pól 9. To dobry sposób kontroli zadania o zmianie rozmiaru okrągłego przedmiotu.
Półkole: połowa pola i dodatkowy odcinek
Półkole powstaje po przecięciu koła wzdłuż średnicy. Jego pole jest połową pola koła, więc dla r = 4 cm wynosi 8π cm². Brzeg półkola obejmuje jednak nie tylko połowę okręgu, lecz także średnicę. Obwód wynosi zatem πr + 2r, tutaj (4π + 8) cm. Samo 4π cm opisuje długość łuku.
Przed liczeniem obwodu prześledź cały brzeg figury. Jeśli w wyobraźni prowadzisz palec od jednego końca średnicy łukiem do drugiego, powrót do początku odbywa się po odcinku. Właśnie ten odcinek jest często pomijany. Pole nie wymaga dodawania średnicy, bo odcinek nie jest powierzchnią.
Pierścień: odejmowanie pól
Pierścień kołowy to część większego koła pozostała po usunięciu wnętrza mniejszego koła o tym samym środku. Dla promieni R = 6 cm oraz r = 2 cm jego pole wynosi πR² − πr² = π(36 − 4) = 32π cm². Odejmujemy kwadraty promieni, ponieważ odejmujemy dwa pola.
Różnica promieni 6 − 2 = 4 cm opisuje szerokość pierścienia, ale nie jest promieniem koła o takim samym polu. Wyrażenie π(6 − 2)² daje 16π cm² i nie opisuje szukanej powierzchni. Wynik pierścienia musi być mniejszy od pola większego koła i dodatni, gdy R > r > 0.
Tok rozwiązania
| Krok | Działanie |
|---|---|
| 1 | Ustal, czy podano promień, średnicę czy długość okręgu. |
| 2 | Zaznacz szukany brzeg lub powierzchnię i dobierz wzór. |
| 3 | Podstaw promień; przy figurze złożonej dodaj odcinki albo odejmij pola. |
| 4 | Sprawdź jednostkę i dopiero na końcu oblicz wymagane przybliżenie. |
Najważniejsze pojęcia
- okrąg
- Zbiór punktów płaszczyzny odległych od środka dokładnie o ustalony dodatni promień.
- koło
- Okrąg wraz z jego wnętrzem.
- średnica
- Cięciwa przechodząca przez środek okręgu; jej długość jest równa 2r.
- π
- Stały stosunek długości okręgu do jego średnicy, w przybliżeniu 3,14.
- pierścień kołowy
- Obszar między dwoma okręgami o wspólnym środku i różnych promieniach.
Najczęstsze pomyłki
- Średnicę trzeba podzielić przez 2 przed podstawieniem do wzoru πr².
- Obwód półkola zawiera średnicę; połowa długości okręgu jest tylko długością jego łuku.
- Pole pierścienia wynosi π(R² − r²), a nie π(R − r)².
Podsumowanie do zapamiętania
- Długość okręgu obliczamy jako 2πr lub πd.
- Pole koła wynosi πr² i ma jednostkę kwadratową.
- Obwód półkola jest równy πr + 2r.
- Pole pierścienia jest różnicą pól współśrodkowych kół.