Opracowanie edukacyjne
Strategie egzaminacyjne z matematyki – klasa 8
W tym materiale dla klasy 8 ćwiczysz rozwiązywanie zadań tekstowych na konkretnych przykładach: polu ściany, zmianie ceny, szacowaniu iloczynu oraz liczbie potrzebnych pojazdów. Celem jest dobranie działania do pytania i sprawdzenie sensu odpowiedzi. Nie wystarczy poprawnie wykonać rachunku, jeśli wcześniej pomylono jednostki, podstawę procentu albo znaczenie otrzymanej liczby.
Po tej lekcji potrafisz
- Przekładać dane z treści na działania z właściwymi jednostkami.
- Rozpoznawać kwotę, od której obliczamy procent.
- Oszacować wynik przed dokładnym obliczeniem i wykrywać błąd rzędu wielkości.
- Dobierać zaokrąglenie do polecenia oraz praktycznego znaczenia wyniku.
Jednostki pomagają zbudować model
Ściana ma szerokość 2,4 m i wysokość 180 cm. Szukamy jej pola, więc potrzebujemy iloczynu długości wyrażonych w tej samej jednostce. Zamieniamy 180 cm na 1,8 m i obliczamy 2,4 · 1,8 = 4,32 m². Zapis 2,4 · 180 = 432 m² byłby błędny: łączy liczby zapisane w różnych jednostkach i przypisuje im niewłaściwy wynik.
Przeliczenie pola wymaga kwadratu przelicznika długości. Kwadrat o boku 1 m ma boki długości 100 cm, więc jego pole wynosi 100 · 100 = 10 000 cm². Stąd 4,32 m² to 43 200 cm². Możemy sprawdzić pole ściany również w centymetrach: 240 · 180 = 43 200. Zgodność obu dróg potwierdza przeliczenie.
Procent zawsze odnosi się do konkretnej całości
Kurtka kosztuje 200 zł, a sklep obniża cenę o 25%. Obniżka wynosi 0,25 · 200 zł = 50 zł, więc nowa cena to 150 zł. Można też od razu obliczyć 75% ceny: 0,75 · 200 zł = 150 zł. Drugi zapis daje niezależną kontrolę metody, ale w obu przypadkach podstawą procentu jest początkowe 200 zł.
Jeżeli potem nową cenę podniesiemy o 25%, procent liczymy już od 150 zł. Podwyżka wynosi 37,50 zł, a cena końcowa 187,50 zł. Taka sama liczba procentów nie cofa wcześniejszej obniżki, ponieważ zmieniła się podstawa. Gdy znamy cenę 150 zł po obniżce o 25%, cenę wcześniejszą odzyskujemy przez 150 : 0,75 = 200, a nie przez dodanie 25%.
Oszacowanie wychwytuje duży błąd
Przed obliczeniem 19,8 · 4,9 możemy zastąpić czynniki pobliskimi liczbami 20 i 5. Iloczyn powinien być bliski 100, lecz mniejszy od 100, bo oba dodatnie czynniki są mniejsze od tych przybliżeń. Dokładny wynik to 97,02. Wynik 970,2 od razu budzi zastrzeżenie: jest niemal dziesięć razy większy od oszacowania.
Oszacowanie nie zastępuje wymaganego dokładnego rachunku. Pomaga wykryć przesunięty przecinek, pominiętą zamianę jednostek lub niewłaściwe działanie. W zadaniu o cenie po obniżce sprawdzamy dodatkowo kierunek zmiany: dodatnia obniżka musi prowadzić do kwoty mniejszej od ceny początkowej. Jeśli wynik tego nie spełnia, wracamy do modelu, zamiast poprawiać liczbę na oko.
Zaokrąglenie zależy od pytania
Do przewiezienia 47 osób wybieramy pojazdy mające po 8 miejsc dla pasażerów. Iloraz 47 : 8 = 5,875 nie oznacza praktycznej odpowiedzi: potrzebujemy całkowitej liczby pojazdów i miejsca dla każdej osoby. Pięć pojazdów mieści 40 pasażerów, a sześć 48, więc potrzeba co najmniej sześciu. Ten wybór wynika z warunku wystarczającej liczby miejsc.
Przy zwykłym zaokrąglaniu liczby 3,146 do setnych otrzymujemy 3,15, ponieważ cyfra tysięcznych to 6. Jest to inna sytuacja niż dobieranie pojazdów: tam trzeba zaokrąglić w górę nawet iloraz 5,125. W wieloetapowym rachunku zachowujemy dokładniejsze wartości pośrednie i dopiero końcową odpowiedź zapisujemy z dokładnością wymaganą w poleceniu.
Tok rozwiązania
| Krok | Działanie |
|---|---|
| 1 | Wypisz szukaną wielkość, dane i warunki, na przykład liczbę dostępnych miejsc. |
| 2 | Uzgodnij jednostki i wskaż podstawę procentu, jeśli występuje w zadaniu. |
| 3 | Oszacuj wynik, następnie zapisz działanie i wykonaj dokładny rachunek. |
| 4 | Sprawdź wielkość wyniku, dobierz zaokrąglenie i odpowiedz na konkretne pytanie. |
Najważniejsze pojęcia
- model zadania
- Działanie, równanie lub schemat odzwierciedlający zależności opisane w treści.
- podstawa procentu
- Wielkość uznana w danym obliczeniu za 100%.
- oszacowanie
- Przybliżona ocena wyniku służąca między innymi kontroli dokładnego rachunku.
- zaokrąglenie do setnych
- Zastąpienie liczby przybliżeniem z dwiema cyframi po przecinku według cyfry tysięcznych.
- warunek zadania
- Ograniczenie, które musi spełniać odpowiedź, na przykład całkowita liczba pojazdów i dostateczna liczba miejsc.
Najczęstsze pomyłki
- Przeliczanie m² na cm² przez mnożenie przez 100 pomija drugi wymiar; właściwy przelicznik to 10 000.
- Dodanie 25% do ceny po obniżce o 25% nie przywraca ceny początkowej, bo procenty dotyczą różnych kwot.
- Zaokrąglenie wyniku bez przeczytania warunków może dać za mało pojazdów lub nadmiernie niedokładną odpowiedź.
Podsumowanie do zapamiętania
- Działanie musi odpowiadać zależnościom w treści zadania.
- Jednakowe jednostki i właściwa podstawa procentu poprzedzają rachunek.
- Oszacowanie pomaga wykrywać pomyłki przecinka i skali.
- Odpowiedź końcową sprawdzamy z pytaniem oraz ograniczeniami sytuacji.