Opracowanie edukacyjne

Ułamki dziesiętne i działania – matematyka klasa 5

W materiale dla klasy 5 poznasz zapis i działania na ułamkach dziesiętnych. Ceny i długości posłużą do sprawdzenia, co oznaczają cyfry po przecinku. Przećwiczysz porównywanie liczb, dodawanie, odejmowanie, proste mnożenie i dzielenie oraz zaokrąglanie. Każdy przecinek ma wynikać z wartości pozycji, a nie ze zgadywania miejsca w wyniku.

Opracowanie: redakcja Quizowania · Standardy redakcyjne · Zgłoś błąd

Po tej lekcji potrafisz

Odczytywać części dziesiąte, setne i tysięczne oraz porównywać ułamki dziesiętne.
Dodawać i odejmować liczby po wyrównaniu odpowiednich pozycji.
Wykonywać proste mnożenie i dzielenie ułamków dziesiętnych, kontrolując wielkość wyniku.
Zamieniać proste jednostki długości i zaokrąglać zgodnie z poleceniem.

Co mówi miejsce cyfry?

Liczba 3,47 oznacza trzy całości, cztery dziesiąte i siedem setnych. Pierwsza pozycja po przecinku odpowiada częściom dziesiątym, druga setnym, a trzecia tysięcznym. W liczbie 3,407 zero na miejscu setnych jest potrzebne: bez niego otrzymalibyśmy inną liczbę, 3,47. Cyfra 7 ma w tych dwóch zapisach inną wartość.

Zera dopisane na końcu części ułamkowej nie zmieniają wartości: 4,5 = 4,50 = 4,500. Pięć dziesiątych to pięćdziesiąt setnych. Nie można jednak usuwać dowolnego zera wewnątrz liczby. Zapis 4,05 oznacza cztery i pięć setnych, a nie cztery i pięć dziesiątych. Pomocą są pieniądze: 4,05 zł to 4 zł 5 gr, natomiast 4,50 zł to 4 zł 50 gr.

Porównanie, dodawanie i odejmowanie

Porównując 0,8 i 0,75, możemy dopisać zero: 0,80 i 0,75. Osiemdziesiąt setnych jest większe od siedemdziesięciu pięciu setnych. Nie porównujemy samych fragmentów 8 i 75 jak liczb całkowitych. Zaczynamy od części całkowitej, następnie sprawdzamy kolejne pozycje po przecinku, aż znajdziemy różnicę.

Do obliczenia 2,6 + 0,47 zapiszmy 2,60 + 0,47 = 3,07. W zapisie pisemnym przecinki ustawiamy pod sobą, dzięki czemu dodajemy setne do setnych i dziesiąte do dziesiątych. Podobnie 6,2 − 1,85 to 6,20 − 1,85 = 4,35. Dopisane zero ułatwia rachunek, ale nie zmienia pierwszej liczby. Sprawdzenie odejmowania: 4,35 + 1,85 = 6,20.

Dziesięć, sto i tysiąc razy

Mnożenie przez 10 zwiększa wartość każdej cyfry dziesięciokrotnie: 2,73 · 10 = 27,3. Przy mnożeniu przez 100 otrzymujemy 273. W wygodnym skrócie przesuwamy przecinek o jedno lub dwa miejsca w prawo, w razie potrzeby dopisując zera. Dla 4,8 · 100 wynikiem jest 480, a nie 48.

Dzielenie przez 10, 100 albo 1000 zmniejsza liczbę odpowiednio tyle razy. Na przykład 36,4 : 100 = 0,364. Tę samą zależność wykorzystujemy w jednostkach: 275 cm = 2,75 m, ponieważ jeden metr ma 100 cm. Po zamianie na większą jednostkę wartość liczbowa maleje, choć długość przedmiotu pozostaje taka sama.

Mnożenie i dzielenie innych ułamków

Iloczyn 1,4 · 0,3 można odczytać jako czternaście dziesiątych razy trzy dziesiąte. Otrzymujemy czterdzieści dwie setne, czyli 0,42. W praktyce najpierw liczymy 14 · 3 = 42, potem uwzględniamy łącznie dwa miejsca po przecinku w czynnikach. Mnożenie dodatniej liczby przez 0,3 daje mniej niż liczba wyjściowa, bo bierzemy tylko trzy dziesiąte tej liczby.

Działanie 4,8 : 4 oznacza podział czterdziestu ośmiu dziesiątych na cztery równe grupy. Każda ma dwanaście dziesiątych, więc wynik to 1,2. Z kolei 1,8 : 0,3 można zamienić na 18 : 3 = 6, mnożąc dzielną i dzielnik przez 10. Pytamy wtedy, ile odcinków po 0,3 m mieści się w 1,8 m. Sprawdzenie 6 · 0,3 = 1,8 potwierdza odpowiedź.

Zaokrąglanie i kontrola wyniku

Zaokrąglając 3,46 do jednego miejsca po przecinku, patrzymy na cyfrę setnych, czyli 6. Zwiększamy cyfrę dziesiątych o 1 i otrzymujemy 3,5. Dla 3,42 wynikiem byłoby 3,4. Przy zaokrąglaniu do setnych decyduje cyfra tysięcznych. Najpierw trzeba więc ustalić dokładność, o którą prosi polecenie.

Przed dłuższym rachunkiem oszacuj wynik. Suma 7,92 + 2,08 powinna być bliska 8 + 2, czyli 10; dokładnie także wynosi 10. Wynik 1 lub 100 wskazywałby na błąd przecinka. W zadaniu z kilkoma działaniami zachowaj dokładne liczby pośrednie, a zaokrąglij końcową odpowiedź, jeżeli wymaga tego polecenie.

Tok rozwiązania

Krok	Działanie
1	Odczytaj wartości cyfr i zapisz potrzebne liczby w jednakowych jednostkach.
2	Oszacuj wielkość wyniku; przy dodawaniu i odejmowaniu wyrównaj przecinki.
3	Wykonaj działanie, uwzględniając wartość pozycji po przecinku.
4	Sprawdź wynik i zaokrąglij go wyłącznie do dokładności wskazanej w zadaniu.

Najważniejsze pojęcia

część dziesiąta: Jedna z dziesięciu równych części jednostki; w zapisie dziesiętnym 0,1.
część setna: Jedna ze stu równych części jednostki; w zapisie dziesiętnym 0,01.
zapis pozycyjny: Zapis, w którym wartość cyfry zależy od zajmowanego przez nią miejsca.
dzielnik: Liczba, przez którą dzielimy; w zwykłym dzieleniu nie może być zerem.
zaokrąglenie: Zastąpienie liczby przybliżeniem do ustalonego miejsca, zgodnie z kolejną cyfrą.

Najczęstsze pomyłki

Dłuższy zapis po przecinku nie oznacza większej liczby: 0,75 jest mniejsze od 0,8 = 0,80.
Przy dodawaniu wyrównujemy przecinki, a nie prawe końce zapisów o różnej długości.
Mnożenie przez dodatnią liczbę mniejszą od 1 zmniejsza liczbę dodatnią; wynik 1,4 · 0,3 nie może wynosić 4,2.
Usunięcie zera z 4,05 zmienia liczbę. Bez zmiany wartości usuwamy końcowe zera części ułamkowej.

Podsumowanie do zapamiętania

Kolejne miejsca po przecinku oznaczają dziesiąte, setne i tysięczne.
Dopisanie końcowych zer ułatwia porównywanie i rachunki bez zmiany liczby.
Przecinek w wyniku działania wynika z wartości cyfr i wykonywanego działania.
Oszacowanie i działanie odwrotne pomagają sprawdzić rachunek.