Opracowanie edukacyjne
Obwody i pola figur – matematyka klasa 4
Obwód opisuje długość brzegu figury, a pole wielkość zajmowanej powierzchni. W klasie 4 uczeń rozróżnia te wielkości, oblicza obwody wielokątów oraz pola prostokątów i kwadratów, korzystając z odpowiednich jednostek. Zrozumienie różnicy jest ważniejsze niż zapamiętanie wzoru, ponieważ ten sam rysunek może prowadzić do dwóch różnych pytań.
Po tej lekcji potrafisz
- odróżniać obwód od pola
- obliczać obwód i pole prostokąta oraz kwadratu
- zamieniać jednostki długości i pola
- sumować lub odejmować pola prostokątnych części
Obwód
Obwód wielokąta jest sumą długości wszystkich boków. Prostokąt o bokach a i b ma obwód 2a + 2b, a kwadrat o boku a — 4a. Wynik zapisujemy w jednostkach długości.
Jeżeli znamy obwód prostokąta i jeden bok, możemy znaleźć drugi: połowa obwodu jest sumą długości sąsiednich boków. W zadaniach praktycznych obwód opisuje na przykład długość listwy lub ogrodzenia.
Pole prostokąta i kwadratu
Pole prostokąta jest iloczynem długości sąsiednich boków: P = a · b. Pole kwadratu wynosi a². Wynik zapisujemy w jednostkach kwadratowych, ponieważ liczymy, ile kwadratów jednostkowych pokrywa figurę.
Prostokąt 3 cm na 5 cm ma pole 15 cm² i obwód 16 cm. Liczb tych nie porównujemy bez uwzględnienia znaczenia i jednostek. Figury o równym obwodzie mogą mieć różne pola.
Jednostki i figury złożone
Jeden decymetr ma 10 centymetrów, lecz jeden decymetr kwadratowy ma 100 centymetrów kwadratowych. Przy zamianie jednostek pola współczynnik długości podnosimy do kwadratu.
Pole figury złożonej z prostokątów można obliczyć przez podział na prostokąty o nienakładających się wnętrzach albo przez odjęcie prostokątnego wycięcia od większego prostokąta. Trzeba sprawdzić, czy żadnego fragmentu nie policzono dwa razy i czy wymiary mają wspólną jednostkę. Dla innych kształtów potrzebne mogą być inne wzory.
Przykład: ta sama ramka, różne powierzchnie
Porównaj prostokąt o wymiarach 1 cm na 5 cm z prostokątem 2 cm na 4 cm. W pierwszym obwód wynosi 1 + 5 + 1 + 5 = 12 cm, a w drugim 2 + 4 + 2 + 4 = 12 cm. Pola są jednak różne: 1 · 5 = 5 cm² oraz 2 · 4 = 8 cm². Taki przykład wystarcza, by obalić zdanie, że jednakowy obwód musi oznaczać jednakowe pole.
Wyobraź sobie teraz prostokątną kartkę o wymiarach 8 cm na 5 cm. Wycięto z jej narożnika prostokąt 3 cm na 2 cm. Początkowe pole wynosi 8 · 5 = 40 cm², a pole wycięcia 3 · 2 = 6 cm². Pozostała część ma pole 40 − 6 = 34 cm². Odejmujemy pola, bo usunięty kawałek wcześniej należał do całej kartki. Nie odejmujemy samych długości 3 i 2 od pola 40.
Przed obliczeniami sprowadź długości do tej samej jednostki. Prostokąt o bokach 2 dm i 5 cm ma boki 20 cm i 5 cm, więc jego pole wynosi 100 cm². Bez zamiany jednostek rachunek 2 · 5 = 10 nie daje pola w cm². Sprawdź też rodzaj pytania: na obwód tej figury potrzeba 20 + 5 + 20 + 5 = 50 cm. Każdy z tych wyników opisuje inną cechę tego samego prostokąta.
Tok rozwiązania
| Krok | Co zrobić |
|---|---|
| 1 | Ustal, czy pytanie dotyczy brzegu, czy powierzchni. |
| 2 | Zapisz wszystkie długości w jednej jednostce. |
| 3 | Dla obwodu dodaj boki; dla pola prostokąta pomnóż sąsiednie boki. |
| 4 | Zapisz jednostkę długości albo jednostkę kwadratową. |
Najważniejsze pojęcia
- obwód
- długość brzegu figury
- pole
- miara powierzchni figury
- jednostka kwadratowa
- pole kwadratu o boku jednej jednostki
- figura złożona
- figura, którą rozkładamy na prostsze części; w tych zadaniach są nimi prostokąty
Najczęstsze pomyłki
- Obwód ma jednostkę długości, a pole kwadratową.
- Nie dodajemy długości boków, gdy obliczamy pole prostokąta.
- 1 dm² to 100 cm², nie 10 cm².
Podsumowanie do zapamiętania
- Obwód jest sumą boków.
- Pole prostokąta to iloczyn sąsiednich boków.
- Jednostki pola zmieniają się kwadratowo.
- Figury złożone dzielimy bez nakładania części.