Podzielność, liczby pierwsze, NWD i NWW – matematyka klasa 6

Po tej lekcji potrafisz

• Rozpoznawać dzielniki i wielokrotności liczb naturalnych.
• Stosować wybrane cechy podzielności.
• Rozkładać liczby na czynniki pierwsze.
• Dobierać NWD i NWW do sytuacji zadaniowej.

Dzielnik i wielokrotność patrzą w różne strony

Przy szukaniu dzielników 30 można zapisywać pary: 1 i 30, 2 i 15, 3 i 10, 5 i 6. Każda para daje iloczyn 30. Zapis parami ułatwia sprawdzenie, czy nie pominięto liczby. Nie dopisujemy zera do dzielników, ponieważ dzielenie przez zero jest niedozwolone. W tych przykładach pracujemy z dodatnimi dzielnikami i dodatnimi wspólnymi wielokrotnościami.

Cechy podzielności skracają sprawdzanie

Liczba zapisana dziesiętnie jest podzielna przez 10, gdy jej ostatnią cyfrą jest 0. Dla podzielności przez 3 obliczamy sumę cyfr. Liczba 246 ma sumę 2 + 4 + 6 = 12, więc dzieli się przez 3. Liczba 247 ma sumę 13 i tej cechy nie spełnia. Nie sprawdzamy tu wyłącznie ostatniej cyfry: może być ona inna niż 3.

Cecha podzielności nie wymaga, aby suma cyfr wynosiła dokładnie 3. Może być to 6, 9, 12 albo inna wielokrotność 3. Obliczenie sumy nie jest też wynikiem dzielenia. Dla 246 : 3 iloraz wynosi 82, chociaż suma cyfr to 12. Rozdziel czynność sprawdzenia warunku od obliczania ilorazu.

Liczby pierwsze i rozkład

Liczba pierwsza jest większa od 1 i ma dokładnie dwa dodatnie dzielniki: 1 oraz siebie samą. Liczba 13 spełnia te warunki, a 1 nie: ma tylko jeden dodatni dzielnik. Liczba 21 jest złożona, ponieważ poza 1 i 21 dzieli się również przez 3 i 7. Wystarczy znaleźć dodatkowy dzielnik, aby wykazać, że liczba nie jest pierwsza.

Rozkład na czynniki pierwsze wymaga, aby każdy końcowy czynnik był liczbą pierwszą. Zapis 84 = 7 · 12 jest poprawnym iloczynem, ale nie kończy takiego rozkładu, bo 12 jest złożone. Rozkładamy dalej: 84 = 2 · 2 · 3 · 7 = 2² · 3 · 7. Na końcu można pomnożyć czynniki i sprawdzić, czy odtworzyliśmy liczbę wyjściową.

NWD pomaga dzielić na jednakowe części

Największy wspólny dzielnik jest największą dodatnią liczbą dzielącą każdą z podanych liczb. Dla 18 i 30 wspólne dzielniki to 1, 2, 3 i 6, więc NWD wynosi 6. Jeśli mamy 18 czerwonych i 30 niebieskich koralików i chcemy przygotować największą liczbę identycznych zestawów bez reszty, otrzymamy sześć zestawów. W każdym będą trzy czerwone i pięć niebieskich koralików.

W innym zadaniu mogą chodzić o największe jednakowe kawałki: wstążki długości 18 cm i 30 cm potniemy bez odpadu na odcinki po 6 cm. Interpretacja wyniku zależy więc od pytania. NWD może określać liczbę zestawów albo długość kawałka, a nie zawsze tę samą wielkość fizyczną.

NWW pomaga znaleźć wspólne powtórzenie

Najmniejsza wspólna wielokrotność to najmniejsza dodatnia liczba będąca wielokrotnością każdej z danych liczb. Dodatnie wielokrotności 6 to 6, 12, 18, 24 i dalsze, a 8 to 8, 16, 24 i dalsze. Pierwsza wspólna wynosi 24. Jeśli dwa zdarzenia występują co 6 i 8 dni i dziś przypadają razem, ponownie zbiegną się za 24 dni.

Porównanie przykładów

Najważniejsze pojęcia

Dzielnik

liczba, przez którą dana liczba dzieli się bez reszty.

Liczba pierwsza

liczba naturalna większa od 1 z dokładnie dwoma dodatnimi dzielnikami.

NWD

największy wspólny dzielnik danych liczb.

NWW

najmniejsza dodatnia wspólna wielokrotność danych liczb.

Najczęstsze pomyłki

• Jedynka nie jest liczbą pierwszą.
• Rozkład 7 · 12 wymaga dalszego rozłożenia liczby 12.
• Samo słowo „wspólny” nie rozstrzyga, czy użyć NWD, czy NWW.

Podsumowanie do zapamiętania

• Ustal role liczb w warunku podzielności.
• W rozkładzie kończ na czynnikach pierwszych.
• NWD wiąż z podziałem bez reszty.
• NWW wiąż ze wspólnymi dodatnimi wielokrotnościami.