Opracowanie edukacyjne
Liczby całkowite i działania – matematyka klasa 5
Liczby całkowite obejmują zero, dodatnie liczby naturalne i ich liczby przeciwne. W klasie 5 pojawiają się na osi liczbowej, termometrze, przy opisie pięter, wysokości oraz zmian stanu. Uczeń porównuje liczby, rozpoznaje wartość bezwzględną i wykonuje podstawowe działania. Znaki plus i minus mogą opisywać zarówno liczbę, jak i wykonywane działanie.
Po tej lekcji potrafisz
- porównywać liczby ujemne na osi
- odróżniać liczbę przeciwną od wartości bezwzględnej
- uzasadniać znak wyniku działania
- interpretować zmianę temperatury jako dodawanie
Oś i porządek
Na osi liczbowej większa liczba leży bardziej na prawo. Dlatego −2 jest większe od −7, chociaż cyfra 7 jest większa od 2. Zero nie jest ani dodatnie, ani ujemne.
Liczby przeciwne, na przykład 5 i −5, leżą w tej samej odległości od zera po przeciwnych stronach. Wartość bezwzględna opisuje odległość od zera, więc |−5| = 5 i nigdy nie jest ujemna.
Dodawanie i odejmowanie
Dodanie liczby dodatniej oznacza ruch w prawo, a ujemnej w lewo. Przy jednakowych znakach dodajemy wartości bezwzględne i zachowujemy znak. Przy różnych znakach odejmujemy mniejszą wartość bezwzględną od większej i bierzemy znak liczby o większej wartości bezwzględnej. Liczby przeciwne dają w sumie zero.
Odejmowanie można zastąpić dodawaniem liczby przeciwnej: 3 − (−4) = 3 + 4 = 7. Dwa widoczne minusy pełnią różne role i nie wolno usuwać ich bez wskazania tej zamiany.
Mnożenie, dzielenie i kontekst
Iloczyn lub iloraz dwóch liczb różnych od zera o jednakowych znakach jest dodatni, a o różnych znakach — ujemny. Najpierw ustalamy znak, potem działamy na wartościach bezwzględnych. Iloczyn z czynnikiem zero wynosi zero. Dzielenie przez zero jest niedozwolone.
W zadaniu temperatura −3°C wzrastająca o 5°C osiąga 2°C. Liczba ujemna nie zawsze oznacza stratę: znaczenie zależy od punktu odniesienia. Wynik kontrolujemy na osi i tłumaczymy w kontekście.
Przykłady na osi: kierunek ruchu i znak wyniku
Narysuj oś z jednakowymi odstępami między kolejnymi liczbami i zaznacz −6. Aby obliczyć −6 + 9, wykonaj dziewięć kroków w prawo: sześć prowadzi do zera, a trzy kolejne do 3. Dla −6 + (−9) zmienia się kierunek ruchu: dziewięć kroków w lewo kończy się na −15. Te przykłady pokazują, dlaczego nie można pominąć znaku drugiego składnika i wykonać tego samego rachunku w obu zadaniach.
Przy odejmowaniu najpierw przepisz działanie jako dodawanie liczby przeciwnej. Dla −2 − (−7) otrzymasz −2 + 7 = 5. Sprawdzenie polega na dodaniu odjemnika do wyniku: 5 + (−7) = −2. Dla −2 − 7 jest natomiast −2 + (−7) = −9. Nawias informuje, do której liczby należy minus; nie jest ozdobą i pomaga odróżnić działanie od znaku liczby.
W mnożeniu ustal osobno znak i wartość wyniku. Na przykład (−6) · 4 = −24, natomiast (−6) · (−4) = 24. Przed zastosowaniem reguły znaków sprawdź, czy któryś czynnik jest zerem: wtedy iloczyn wynosi zero. Nie każda dzielona para liczb całkowitych daje wynik całkowity; 5 : 2 = 2,5. W tym quizie przykłady dzielenia dobrano tak, aby wynik był całkowity. Na koniec spróbuj obliczyć (−24) : (−6). Wynik 4 sprawdzisz przez 4 · (−6) = −24.
Tok rozwiązania
| Krok | Co zrobić |
|---|---|
| 1 | Zapisz liczby wraz ze znakami i nawiasami. |
| 2 | Odejmowanie zamień na dodawanie liczby przeciwnej. |
| 3 | Przy dodawaniu sprawdź kierunek ruchu na osi; przy mnożeniu ustal znak. |
| 4 | Sprawdź wynik działaniem odwrotnym lub na osi. |
Najważniejsze pojęcia
- liczba całkowita
- liczba ze zbioru ..., −2, −1, 0, 1, 2, ...
- liczby przeciwne
- liczby o sumie zero
- wartość bezwzględna
- odległość liczby od zera
- znak liczby
- informacja, po której stronie zera leży liczba
Najczęstsze pomyłki
- Wśród liczb ujemnych większa jest bliższa zeru.
- Wartość bezwzględna nie jest ujemna.
- Odejmowanie liczby ujemnej zwiększa wynik.
Podsumowanie do zapamiętania
- Zero oddziela liczby ujemne od dodatnich.
- Oś pokazuje porządek.
- Odejmowanie zastępujemy dodawaniem liczby przeciwnej.
- Znaki iloczynu zależą od znaków czynników.