Opracowanie edukacyjne

Procenty i ich zastosowania – matematyka klasa 5

To wprowadzenie do procentów dla klasy 5. Powiążesz zapis procentowy ze znanymi ułamkami: całością, połową, ćwiercią, jedną dziesiątą i jedną setną. Następnie obliczysz proste części liczby i pojedynczą obniżkę ceny. Najpierw ustalisz, co oznacza 100%, bo ten sam procent może odpowiadać różnej liczbie przedmiotów lub różnej kwocie. Rozpoznawanie ćwierci grupy jako 25% jest prostym uzupełnieniem tego tematu; ogólne obliczenia udziałów procentowych są omawiane w klasach 7 i 8.

Opracowanie: redakcja Quizowania · Standardy redakcyjne · Zgłoś błąd

Po tej lekcji potrafisz

Wyjaśniać procent jako jedną setną ustalonej całości.
Łączyć 100%, 50%, 25%, 20%, 10% i 1% z prostymi ułamkami.
Obliczać wskazany procent liczby przez podział na równe części.
Odróżniać kwotę pojedynczej obniżki od ceny po obniżce.

Co jest całością, czyli 100%?

Jeden procent, zapisywany 1%, to jedna setna całości. Jeśli prostokąt podzielimy na 100 jednakowych kratek, jedna kratka stanowi 1% jego pola, a wszystkie kratki 100%. Pięćdziesiąt takich kratek tworzy połowę prostokąta, więc 50% = 1/2. Zapis procentowy opisuje część wybranej całości, a nie samodzielną liczbę złotych, osób czy centymetrów.

W pudełku A jest 40 kredek, a w pudełku B jest 60 kredek. Połowa kredek z A to 20 sztuk, natomiast połowa z B to 30 sztuk. W obu przypadkach mówimy o 50%, ale otrzymujemy inne liczby. Przed rachunkiem zapisz więc całe pudełko, pełną cenę albo wszystkich uczestników jako 100%. Bez wskazania całości nie wiemy, ile wynosi jej procent.

Znane ułamki ułatwiają rachunek

Sto procent oznacza całość, więc 100% liczby 72 to 72. Pięćdziesiąt procent to połowa, zatem 50% z 72 obliczamy jako 72 : 2 = 36. Dwadzieścia pięć procent to ćwierć: 25% z 72 wynosi 72 : 4 = 18. Można sprawdzić wynik, łącząc cztery takie części: 4 · 18 = 72.

Dziesięć procent to jedna dziesiąta całości, dlatego 10% z 150 wynosi 150 : 10 = 15. Dwadzieścia procent to dwie takie dziesiąte: 2 · 15 = 30. Jest to również jedna piąta, więc drugi sposób to 150 : 5 = 30. Jeden procent obliczamy przez podzielenie całości przez 100; dla 300 otrzymujemy 300 : 100 = 3.

Warto znać powiązania 25% = 1/4, 20% = 1/5 oraz 10% = 1/10. Nie należy jednak dzielić liczby przez samą liczbę stojącą przed znakiem procentu. Działanie 80 : 25 nie oblicza 25% z 80. Ćwierć z 80 to 80 : 4 = 20. Nazwa ułamka wskazuje właściwy podział.

Procent przedmiotów i długości

Na półce jest 60 książek, z których 20% stanowią słowniki. Szukamy jednej piątej wszystkich książek: 60 : 5 = 12. Słowników jest 12. Sprawdzenie przez części daje pięć grup po 12 książek, czyli 60 książek. Wynik opisuje liczbę przedmiotów, więc w tej sytuacji oczekujemy całkowitej liczby sztuk.

Taśma ma 240 cm długości. Odcięto 25% jej długości, czyli ćwierć: 240 : 4 = 60 cm. Pozostało 240 − 60 = 180 cm. Pytanie „ile odcięto?” i pytanie „ile zostało?” wymagają innych odpowiedzi. Procent pomaga znaleźć część, lecz końcowe działanie zależy od tego, której wielkości szukamy.

Wynik nie musi być liczbą całkowitą, gdy liczymy długość lub kwotę. Dziesięć procent z 35 zł wynosi 3,50 zł, ponieważ 35 : 10 = 3,5. Pół złotego to 50 groszy. Obliczenie pozostaje takie samo jak przy liczbach całkowitych; trzeba jedynie poprawnie zapisać jednostkę i części tej jednostki.

Cena po jednej obniżce

Plecak kosztuje 80 zł i został przeceniony o 25%. Podstawą procentu jest początkowa cena 80 zł. Kwota obniżki wynosi 80 : 4 = 20 zł. Nowa cena to 80 − 20 = 60 zł. Zapis 20 zł odpowiada tylko na pytanie o wysokość rabatu, a nie na pytanie, ile należy zapłacić.

Bilet za 30 zł jest sprzedawany z obniżką 10%. Obniżka wynosi 30 : 10 = 3 zł, więc bilet kosztuje 27 zł. Wynik można sprawdzić, dodając do nowej ceny kwotę rabatu: 27 + 3 = 30. W tej lekcji rozpatrujemy jedną zmianę ceny; każdorazowo jasno wskazujemy cenę, od której liczymy procent.

Przy dodatniej obniżce mniejszej niż 100% nowa cena musi być dodatnia i niższa od początkowej. Rabat 25% jest mniejszy niż połowa ceny, więc po takiej obniżce zostaje do zapłaty więcej niż połowa. Dla plecaka za 80 zł cena końcowa powinna zatem przekraczać 40 zł. Odpowiedź 20 zł nie spełnia tej kontroli.

Tok rozwiązania

Krok	Działanie
1	Wskaż konkretną całość oznaczającą 100%, na przykład początkową cenę.
2	Zamień znany procent na prosty ułamek, na przykład 25% na jedną czwartą.
3	Oblicz część przez odpowiedni podział całości.
4	Jeśli pytanie dotyczy pozostałej części lub nowej ceny, odejmij obliczoną część i podaj jednostkę.

Najważniejsze pojęcia

procent: Jedna setna ustalonej całości; oznaczamy go symbolem %.
100%: Całość, do której odnosimy obliczaną część.
25%: Dwadzieścia pięć setnych, czyli jedna czwarta całości.
20%: Dwadzieścia setnych, czyli jedna piąta całości.
kwota obniżki: Część ceny odejmowana od ceny początkowej; nie jest ceną po obniżce.

Najczęstsze pomyłki

Te same 50% może oznaczać różne liczby sztuk, jeśli porównywane całości są różne.
Aby obliczyć 25% liczby, dzielimy ją przez 4, a nie przez 25.
Kwota rabatu i cena po obniżce to różne wielkości; od ceny początkowej odejmujemy rabat.
Wynik procentowy zachowuje jednostkę całości: część kwoty podajemy w złotych, a część długości w jednostkach długości.

Podsumowanie do zapamiętania

Procent odnosi się do ustalonej całości, która stanowi 100%.
50% to połowa, 25% ćwierć, a 20% jedna piąta.
10% obliczamy przez podzielenie przez 10, a 1% przez podzielenie przez 100.
Cena po jednej obniżce jest ceną początkową pomniejszoną o kwotę rabatu.