Opracowanie edukacyjne
Skala, plan i mapa – matematyka klasa 6
W klasie 6 skala łączy pomiar na planie lub mapie z długością w rzeczywistości. Przećwiczysz oba kierunki obliczeń, zamianę jednostek oraz odczytywanie skali liczbowej, mianowanej i podziałki liniowej. Zobaczysz też, dlaczego odległość między punktami mierzona prostym odcinkiem nie zawsze jest długością drogi, którą trzeba rzeczywiście przejść.
Po tej lekcji potrafisz
- Odczytywać skalę liczbową jako porównanie długości w tej samej jednostce.
- Obliczać długość rzeczywistą z pomiaru na planie oraz długość na planie z danych terenowych.
- Łączyć skalę liczbową ze skalą mianowaną i podziałką liniową.
- Rozróżniać odległość w linii prostej i przybliżoną długość zakrzywionej trasy.
Znaczenie zapisu 1:n
Skala 1:500 oznacza, że odcinki na planie są 500 razy krótsze od odpowiadających im odcinków w rzeczywistości. Jeden centymetr na planie odpowiada 500 cm, czyli 5 m. Możemy też użyć milimetrów: 1 mm na planie odpowiada 500 mm w rzeczywistości. Oba człony zapisu skali dotyczą tej samej jednostki, nawet gdy jednostka nie jest dopisana.
W skali 1:50 000 jeden centymetr odpowiada 50 000 cm. Ponieważ 100 cm = 1 m, jest to 500 m, czyli 0,5 km. Zapis „1 cm — 500 m” nazywamy skalą mianowaną. Pokazuje on wygodne jednostki mapy i terenu, podczas gdy skala liczbowa pozostaje porównaniem jednakowych jednostek długości.
Od planu do rzeczywistości
Na planie w skali 1:200 długość ściany wynosi 3,5 cm. Mnożymy pomiar przez mianownik skali: 3,5 · 200 = 700 cm. Następnie zamieniamy 700 cm na 7 m. Pomocniczy zapis z centymetrami jest ważny: wynik mnożenia nie staje się metrami tylko dlatego, że rzeczywista ściana jest większa od rysunku.
Jeżeli mapa ma skalę mianowaną 1 cm — 2 km, odległość 4 cm na mapie odpowiada 4 · 2 = 8 km w terenie. Ta metoda daje ten sam wynik co użycie skali liczbowej 1:200 000. Przed obliczeniem warto odczytać, czego dotyczy zmierzony odcinek, na przykład odległości między środkami symboli dwóch miejscowości.
Od rzeczywistości do planu
Chcemy narysować alejkę długości 18 m na planie w skali 1:300. Najpierw wyrażamy długość w centymetrach: 18 m = 1800 cm. Następnie dzielimy przez 300 i otrzymujemy 6 cm na planie. Kierunek działania jest odwrotny niż przy odczytywaniu rzeczywistej długości: pomniejszamy długość terenową, zamiast ją powiększać.
Sprawdzenie polega na powrocie do danych: 6 cm · 300 = 1800 cm = 18 m. Gdyby z rachunku wyszło 60 cm, odcinek na planie przedstawiałby 180 m, a nie 18 m. Uzgodnienie jednostek przed dzieleniem pozwala uniknąć częstego błędu 18 : 300 = 0,06 cm, w którym pominięto zamianę metrów na centymetry.
Która skala daje większy rysunek?
Porównajmy skale 1:100 i 1:1000. Odcinek rzeczywisty długości 10 m ma 1000 cm. Na pierwszym planie będzie miał 1000 : 100 = 10 cm, a na drugim 1000 : 1000 = 1 cm. Skala 1:100 jest większa: pokazuje ten sam obiekt większy i pozwala zmieścić więcej szczegółów jego rysunku.
W zapisie 1:n większy mianownik oznacza silniejsze pomniejszenie. Mapy o mniejszej skali mogą przedstawiać większy obszar na kartce tego samego rozmiaru, lecz zwykle zawierają mniej szczegółów. Nie porównuj samych liczb 100 i 1000 tak, jakby były skalami: porównywane wartości to ułamki 1/100 i 1/1000.
Podziałka liniowa i długość trasy
Podziałka liniowa to narysowany odcinek z zaznaczonymi długościami rzeczywistymi. Można przyłożyć do niej pasek papieru z przeniesionym odstępem między punktami mapy. Jeśli mapa wraz z podziałką zostanie jednakowo powiększona, ich wzajemne proporcje pozostaną poprawne. Sam nadruk skali liczbowej po takim powiększeniu nie będzie już opisywał nowych wymiarów rysunku.
Kręta ścieżka ma inną długość niż prosty odcinek łączący jej końce. Aby oszacować długość trasy, dzielimy ją na krótkie odcinki, mierzymy je i sumujemy, a dopiero potem stosujemy skalę. Im lepiej krótkie odcinki odwzorowują zakręty, tym użyteczniejsze przybliżenie. Wynik nadal zależy od dokładności mapy i pomiaru; nie podajemy pozornej dokładności do pojedynczych centymetrów w terenie.
Tok rozwiązania
| Krok | Działanie |
|---|---|
| 1 | Odczytaj skalę i ustal, czy szukasz długości na mapie, czy w rzeczywistości. |
| 2 | Uzgodnij jednostki; dla planu zwykle wygodnie użyć centymetrów. |
| 3 | Z mapy do rzeczywistości pomnóż przez mianownik skali, a w przeciwnym kierunku podziel. |
| 4 | Zamień wynik na potrzebną jednostkę i sprawdź go działaniem odwrotnym. |
Najważniejsze pojęcia
- skala liczbowa
- Zapis, na przykład 1:500, porównujący długość na planie i w rzeczywistości w jednakowych jednostkach.
- skala mianowana
- Opis, jakiej długości rzeczywistej odpowiada jednostka mapy, na przykład 1 cm — 500 m.
- podziałka liniowa
- Graficzny odcinek z oznaczeniami rzeczywistych odległości, służący do odczytu pomiarów na mapie.
- pomniejszenie
- Przedstawienie obiektu tak, że długości na rysunku są mniejsze od odpowiadających im długości rzeczywistych.
- odległość w linii prostej
- Długość odcinka między dwoma punktami, która może być mniejsza od długości łączącej je drogi.
Najczęstsze pomyłki
- W skali 1:50 000 jeden centymetr oznacza 50 000 centymetrów, a nie 50 000 metrów.
- Obliczając wymiar na planie, dzielimy długość rzeczywistą po uzgodnieniu jednostek; mnożenie prowadzi w przeciwną stronę.
- Większy mianownik skali 1:n oznacza mniejszą skalę i mocniejsze pomniejszenie obiektów.
- Prosty odcinek między końcami krętej drogi nie opisuje jej całej długości; trzeba uwzględnić przebieg trasy.
Podsumowanie do zapamiętania
- Skala liczbowa porównuje długości w tej samej jednostce.
- Pomiar na mapie mnożymy przez mianownik skali, aby otrzymać długość rzeczywistą.
- Długość rzeczywistą dzielimy przez mianownik skali, aby wyznaczyć długość na planie.
- Podziałka liniowa i odcinki przybliżające zakręty pomagają mierzyć rzeczywiste trasy.