Opracowanie edukacyjne
Prostopadłościany, graniastosłupy i objętość – matematyka klasa 5
Bryły mają trzy wymiary i zajmują miejsce w przestrzeni. W klasie 5 uczeń rozpoznaje prostopadłościany, sześciany i proste graniastosłupy, wskazuje ściany, krawędzie oraz wierzchołki, odczytuje siatki i oblicza objętość prostopadłościanu. Trzeba odróżniać objętość od pola powierzchni i dobierać właściwe jednostki sześcienne.
Po tej lekcji potrafisz
- liczyć ściany, krawędzie i wierzchołki
- odróżniać objętość od pola powierzchni
- obliczać objętość oraz pole prostopadłościanu
- sprawdzać siatkę i przeliczać dm³ na litry
Budowa bryły
Prostopadłościan ma sześć prostokątnych ścian, dwanaście krawędzi i osiem wierzchołków. Sześcian jest szczególnym prostopadłościanem, którego wszystkie ściany są przystającymi kwadratami i wszystkie krawędzie mają równą długość.
Graniastosłup ma dwie przystające, równoległe podstawy, a jego ściany boczne są równoległobokami; w prostym graniastosłupie szkolnym — prostokątami. Nazwa zależy od kształtu podstawy, na przykład graniastosłup trójkątny.
Siatki i pole powierzchni
Siatka powstaje po rozcięciu wybranych krawędzi i rozłożeniu powierzchni bryły na płaszczyźnie. Nie każdy układ sześciu kwadratów złoży się w sześcian; ściany nie mogą na siebie nachodzić ani pozostawić luki.
Pole powierzchni jest sumą pól wszystkich ścian i ma jednostkę kwadratową. Dla prostopadłościanu o wymiarach a, b, c wynosi 2ab+2ac+2bc. Ten wzór nie oblicza przestrzeni wewnątrz bryły.
Objętość i jednostki
Objętość prostopadłościanu wynosi a·b·c. Bryła 3 cm na 4 cm na 5 cm ma objętość 60 cm³, ponieważ mieści 60 sześcianów jednostkowych. Sześcian o krawędzi a ma objętość a³.
Jeden decymetr sześcienny to 1000 cm³ i odpowiada jednemu litrowi. Przy zamianie jednostek objętości współczynnik długości podnosimy do trzeciej potęgi. Wszystkie wymiary przed mnożeniem muszą mieć tę samą jednostkę.
Przykład: wnętrze pudełka, jego ściany i siatka
Przyjmij pudełko w kształcie prostopadłościanu o wymiarach 2 cm, 3 cm i 4 cm. Objętość wynosi 2 · 3 · 4 = 24 cm³. Możesz wyobrazić sobie cztery warstwy o wysokości 1 cm. Każda mieści sześć sześcianów o krawędzi 1 cm, więc razem jest ich dwadzieścia cztery. To obliczenie odpowiada na pytanie o przestrzeń zajętą przez bryłę, a nie o ilość papieru potrzebnego do oklejenia jej ścian.
Aby policzyć pole całej powierzchni, rozdziel ściany na pary: dwie mają wymiary 2 cm na 3 cm, dwie 2 cm na 4 cm, a dwie 3 cm na 4 cm. Dodaj ich pola: 2 · 6 + 2 · 8 + 2 · 12 = 52 cm². Jeżeli policzysz tylko po jednej ścianie każdej pary, otrzymasz 26 cm², czyli połowę potrzebnego wyniku. Dlatego lista ścian pomaga lepiej niż zapamiętanie samego wzoru.
Przy oglądaniu siatki sprawdź nie tylko liczbę prostokątów, lecz także długości boków, które po złożeniu mają się zetknąć. Dwie ściany nie mogą zamknąć tego samego miejsca, pozostawiając inne otwarte. W sześcianie wszystkie sześć ścian jest jednakowymi kwadratami, ale ich przypadkowe ułożenie nadal może nie dać poprawnej siatki. Na koniec porównaj jednostki: 1 dm³ to 1 litr, a 1 dm² jest jednostką pola i nie przelicza się go bezpośrednio na litry.
Tok rozwiązania
| Krok | Co zrobić |
|---|---|
| 1 | Rozpoznaj długość, szerokość i wysokość bryły. |
| 2 | Dla objętości oblicz pole podstawy i pomnóż przez wysokość. |
| 3 | Dla pola powierzchni osobno policz każdą parę ścian. |
| 4 | Zapisz wynik w cm³ albo cm² zgodnie z pytaniem. |
Najważniejsze pojęcia
- prostopadłościan
- bryła o sześciu prostokątnych ścianach
- sześcian
- prostopadłościan o wszystkich krawędziach równych
- siatka bryły
- płaski układ ścian możliwy do złożenia
- objętość
- miara przestrzeni zajmowanej przez bryłę
Najczęstsze pomyłki
- Pole powierzchni ma jednostki kwadratowe, objętość sześcienne.
- Sześcian jest prostopadłościanem.
- Przed mnożeniem wymiary muszą mieć zgodne jednostki.
Podsumowanie do zapamiętania
- Bryła ma ściany, krawędzie i wierzchołki.
- Siatka pokazuje powierzchnię bryły.
- Objętość prostopadłościanu to iloczyn trzech wymiarów.
- 1 dm³ to 1 litr.